\begin{gathered}\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x \operatorname{sen} x} \\\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} a x}{\operatorname{sen} b x}\end{gathered}onde a, b \in \mathbb{R}, e a, b \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede que se calculem dois limites quando x \to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\,\operatorname{sen} x}
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{\operatorname{sen}(b x)},
onde a,b\in\mathbb{R} e a,b\neq 0.
Informações relevantes dadas:
  • Os dois limites são na vizinhança de x=0.
  • Os parâmetros a e b são constantes reais não nulas.

Passo 2

Lembrete fundamental (fórmula que vamos usar várias vezes): para a função seno vale o limite notório
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Explicação rápida e intuitiva do porquê (sem usar séries): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Então, fazendo t\to 0^+, como \cos t\to 1, conclui-se que \sin t/t\to 1. Pela simetria do seno, o resultado vale também quando t\to 0^-. Esse limite é a ferramenta chave para manipular limites que envolvem seno dividido por uma expressão com x.

Passo 3

Calcular o primeiro limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\,\operatorname{sen} x}.
Primeiro usamos a identidade trigonométrica
1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo no numerador obtemos
\frac{1-\cos x}{x\,\sin x} = \frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\,\sin x}.
Além disso sabemos que
\sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo \sin x no denominador:
\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cdot 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Agora reorganizamos para usar o limite \sin t/t. Escrevemos
\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Ao tomar x\to 0 temos \dfrac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}\to 1 (pelo resultado do Passo 2) e \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\to 1. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\,\sin x} = \frac{1}{2}.
Observação alternativa (mais direta para checar): usando desenvolvimento em série para pequenas x,
\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\qquad \sin x = x + o(x),
então o numerador \approx \tfrac{x^2}{2} e o denominador \approx x\cdot x = x^2, dando razão \tfrac{1}{2}, consistente com o resultado acima.

Passo 4

Calcular o segundo limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{\operatorname{sen}(b x)}.
Fatoramos convenientemente para usar \sin t/t. Escrevemos
\frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} = \frac{\sin(a x)}{a x}\cdot\frac{b x}{\sin(b x)}\cdot\frac{a}{b}.
Aqui separamos em três fatores: \dfrac{\sin(a x)}{a x}, \dfrac{b x}{\sin(b x)} e \dfrac{a}{b}. Quando x\to 0 os dois primeiros fatores tendem a 1, pois cada um é do tipo \sin t/t com t\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} = \frac{a}{b}.
Essa é a resposta para o segundo limite (válida porque a e b são não nulos, o que evita divisões por zero).

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova:
  • Para limites com seno pequeno, use sempre que possível \sin t \sim t (formalizado por \lim_{t\to 0}\sin t/t=1).
  • Para expressões com \cos use identidade 1-\cos x = 2\sin^2(x/2) e a fórmula de \sin x em função de \sin(x/2) e \cos(x/2) para simplificar.
  • Para razões \sin(a x)/\sin(b x) lembre-se de fatorar para aparecerem termos \sin(\cdot)/(\cdot), o que leva ao quociente a/b.

Resposta

\dfrac{1}{2}
\dfrac{a}{b}

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