onde
, e
.
Passo 1
O enunciado pede que se calculem dois limites quando
:
onde
e
.
Informações relevantes dadas:
- Os dois limites são na vizinhança de
. - Os parâmetros
e são constantes reais não nulas.
Passo 2
Lembrete fundamental (fórmula que vamos usar várias vezes): para a função seno vale o limite notório
Explicação rápida e intuitiva do porquê (sem usar séries): para
vale a desigualdade geométrica
Então, fazendo
, como
, conclui-se que
. Pela simetria do seno, o resultado vale também quando
. Esse limite é a ferramenta chave para manipular limites que envolvem seno dividido por uma expressão com
.
Passo 3
Calcular o primeiro limite
Primeiro usamos a identidade trigonométrica
Substituindo no numerador obtemos
Além disso sabemos que
Substituindo
no denominador:
Agora reorganizamos para usar o limite
. Escrevemos
Ao tomar
temos
(pelo resultado do Passo 2) e
. Logo
Observação alternativa (mais direta para checar): usando desenvolvimento em série para pequenas
,
então o numerador
e o denominador
, dando razão
, consistente com o resultado acima.
Passo 4
Calcular o segundo limite
Fatoramos convenientemente para usar
. Escrevemos
Aqui separamos em três fatores:
,
e
. Quando
os dois primeiros fatores tendem a
, pois cada um é do tipo
com
. Portanto
Essa é a resposta para o segundo limite (válida porque
e
são não nulos, o que evita divisões por zero).
Passo 5
Resumo didático rápido para a prova:
- Para limites com seno pequeno, use sempre que possível
(formalizado por ). - Para expressões com
use identidade e a fórmula de em função de e para simplificar. - Para razões
lembre-se de fatorar para aparecerem termos , o que leva ao quociente .