Informação relevante: x aproxima-se de x_{0}. Não há outras restrições sobre x_{0}.
Passo 2
Transformar a diferença de cossenos usando uma identidade trigonométrica útil.
Usaremos a identidade
\cos u - \cos v = -2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right),
válida para quaisquer u,v\in\mathbb{R}. Para relembrar rapidamente de onde vem essa identidade, faça a soma e diferença das fórmulas de cosseno:
\cos u = \cos\!\left(\frac{u+v}{2}+\frac{u-v}{2}\right), \qquad \cos v = \cos\!\left(\frac{u+v}{2}-\frac{u-v}{2}\right),
e aplique a fórmula de cosseno da soma/diferença; ao subtrair obtém-se a identidade acima. (Aceitar essa identidade é suficiente para continuar a resolução.)
Passo 3
Substituir a identidade na expressão do limite e simplificar.
\dfrac{x-x_{0}}{2}\to 0, então aparece o limite clássico \dfrac{\sin t}{t} com t=\dfrac{x-x_{0}}{2}. Precisamos usar que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
A partir daí poderemos concluir o valor do limite pedido.
Passo 5
Provar o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 (prova curta usando o teorema do confronto).
Para t com 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale, por argumentos geométricos no círculo unitário, a desigualdade
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
Explicando rapidamente: compare áreas/segmentos no círculo unitário e use que \sin t < t < \tan t, que leva a \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1. Como \lim_{t\to 0^+}\cos t =1, pelo teorema do confronto tem-se \lim_{t\to 0^+}\dfrac{\sin t}{t}=1. Para t<0 a função \dfrac{\sin t}{t} é par (porque ambos numerador e denominador mudam de sinal), então o limite pela esquerda é o mesmo. Logo
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Passo 6
Aplicar os limites ao produto obtido e concluir.
Voltando à expressão do Passo 3 e usando a propriedade do limite do produto,
Pelo Passo 4 e pelo Passo 5 essas duas quantidades são, respectivamente, \sin x_{0} e 1. Portanto o limite vale
-\sin x_{0}.
Passo 7
Comentário extra (intuição alternativa).
Uma leitura rápida: o limite é exatamente a definição do derivado de \cos x em x_{0}. Como a derivada de \cos x é -\sin x, obtemos o mesmo resultado -\sin x_{0}. Se for mais confortável pensar em derivadas na prova, essa é outra via válida.