\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\cos x-\cos x_{0}}{x-x_{0}}onde x_{0} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se o valor do limite
\lim_{x\to x_{0}} \frac{\cos x-\cos x_{0}}{x-x_{0}},
onde x_{0}\in\mathbb{R} é um número fixo dado.
  • Informação relevante: x aproxima-se de x_{0}. Não há outras restrições sobre x_{0}.

Passo 2

Transformar a diferença de cossenos usando uma identidade trigonométrica útil.
Usaremos a identidade
\cos u - \cos v = -2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right),
válida para quaisquer u,v\in\mathbb{R}. Para relembrar rapidamente de onde vem essa identidade, faça a soma e diferença das fórmulas de cosseno:
\cos u = \cos\!\left(\frac{u+v}{2}+\frac{u-v}{2}\right), \qquad \cos v = \cos\!\left(\frac{u+v}{2}-\frac{u-v}{2}\right),
e aplique a fórmula de cosseno da soma/diferença; ao subtrair obtém-se a identidade acima. (Aceitar essa identidade é suficiente para continuar a resolução.)

Passo 3

Substituir a identidade na expressão do limite e simplificar.
Usando a identidade com u=x e v=x_{0},
\cos x-\cos x_{0} = -2\sin\!\left(\frac{x+x_{0}}{2}\right)\sin\!\left(\frac{x-x_{0}}{2}\right).
Substituindo no quociente,
\frac{\cos x-\cos x_{0}}{x-x_{0}} = -2\sin\!\left(\frac{x+x_{0}}{2}\right)\cdot \frac{\sin\!\left(\dfrac{x-x_{0}}{2}\right)}{x-x_{0}}.
Agora observe que
\frac{\sin\!\left(\dfrac{x-x_{0}}{2}\right)}{x-x_{0}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin\!\left(\dfrac{x-x_{0}}{2}\right)}{\dfrac{x-x_{0}}{2}}.
Portanto o quociente pode ser reescrito como
\frac{\cos x-\cos x_{0}}{x-x_{0}} = -\sin\!\left(\frac{x+x_{0}}{2}\right)\cdot \frac{\sin\!\left(\dfrac{x-x_{0}}{2}\right)}{\dfrac{x-x_{0}}{2}}.

Passo 4

Preparar a passagem ao limite usando limites conhecidos.
Queremos agora o limite quando x\to x_{0} da expressão do Passo 3. Note duas coisas que acontecem quando x\to x_{0}:
  • \dfrac{x+x_{0}}{2}\to x_{0}, portanto \sin\!\left(\dfrac{x+x_{0}}{2}\right)\to \sin x_{0}.
  • \dfrac{x-x_{0}}{2}\to 0, então aparece o limite clássico \dfrac{\sin t}{t} com t=\dfrac{x-x_{0}}{2}. Precisamos usar que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
A partir daí poderemos concluir o valor do limite pedido.

Passo 5

Provar o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 (prova curta usando o teorema do confronto).
Para t com 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale, por argumentos geométricos no círculo unitário, a desigualdade
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1.
Explicando rapidamente: compare áreas/segmentos no círculo unitário e use que \sin t < t < \tan t, que leva a \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1. Como \lim_{t\to 0^+}\cos t =1, pelo teorema do confronto tem-se \lim_{t\to 0^+}\dfrac{\sin t}{t}=1. Para t<0 a função \dfrac{\sin t}{t} é par (porque ambos numerador e denominador mudam de sinal), então o limite pela esquerda é o mesmo. Logo
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 6

Aplicar os limites ao produto obtido e concluir.
Voltando à expressão do Passo 3 e usando a propriedade do limite do produto,
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\cos x-\cos x_{0}}{x-x_{0}} = -\left(\lim_{x\to x_{0}}\sin\!\left(\frac{x+x_{0}}{2}\right)\right) \cdot\left(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\sin\!\left(\dfrac{x-x_{0}}{2}\right)}{\dfrac{x-x_{0}}{2}}\right).
Pelo Passo 4 e pelo Passo 5 essas duas quantidades são, respectivamente, \sin x_{0} e 1. Portanto o limite vale
-\sin x_{0}.

Passo 7

Comentário extra (intuição alternativa).
Uma leitura rápida: o limite é exatamente a definição do derivado de \cos x em x_{0}. Como a derivada de \cos x é -\sin x, obtemos o mesmo resultado -\sin x_{0}. Se for mais confortável pensar em derivadas na prova, essa é outra via válida.

Resposta

-\sin x_{0}

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