\hline 16 & A base
e a altura
de um retângulo estão variando com o tempo. Em um dado instante,
mede
e cresce a uma taxa de
, enquanto
mede
e decresce a uma taxa de
. Determine, nesse instante, a taxa de variação da área
do retângulo em relação ao tempo. \
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\hline
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da área do retângulo em relação ao tempo, no instante dado. As informações fornecidas são:
(base) mede
naquele instante.
(taxa de variação de
) é
— cresce.
(altura) mede
naquele instante.
(taxa de variação de
) é
— decresce.
O que se pede: encontrar naquele instante, onde
é a área do retângulo.
O que se pede: encontrar
Passo 2
Escrevemos a relação entre área e dimensões. Para um retângulo,
Aqui
é a área em
,
é a base em
e
é a altura em
. Ambos
e
dependem do tempo
, por isso
também depende de
.
Passo 3
Para obter a taxa
diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo
. Como
é produto de duas funções de
, usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se
e
são funções de
, então
Intuição rápida: uma variação pequena
causada por
e
vale aproximadamente
; dividindo por
e passando ao limite obtemos a regra acima.
Passo 4
Aplicando a regra do produto à fórmula
, obtemos
Esta é a fórmula que usaremos. Note que cada termo tem unidade
, compatível com uma taxa de variação de área.
Passo 5
Substituímos os valores dados no instante considerado:
,
,
,
.
Calculamos cada termo:
Calculamos cada termo:
Somando,
Passo 6
Interpretação: no instante dado a área está aumentando a uma taxa de
. Uma observação útil para prova: essa é a taxa instantânea. Se você calcular a área após um intervalo finito (por exemplo
) pode obter uma variação diferente porque
e
mudam ao longo do tempo, e por isso
também varia com
. Mas o procedimento para obter a taxa instantânea naquele instante é sempre esse: escrever
, diferenciar e substituir os valores.