\hline 16 & A base x e a altura y de um retângulo estão variando com o tempo. Em um dado instante, x mede 3 c m e cresce a uma taxa de 2 c m / s, enquanto y mede 4 c m e decresce a uma taxa de 1 c m / s. Determine, nesse instante, a taxa de variação da área A do retângulo em relação ao tempo. \
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Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da área do retângulo em relação ao tempo, no instante dado. As informações fornecidas são:
x (base) mede 3\\ \text{cm} naquele instante.
\dfrac{dx}{dt} (taxa de variação de x) é 2\\ \text{cm}/\text{s} — cresce.
y (altura) mede 4\\ \text{cm} naquele instante.
\dfrac{dy}{dt} (taxa de variação de y) é -1\\ \text{cm}/\text{s} — decresce.
O que se pede: encontrar \dfrac{dA}{dt} naquele instante, onde A é a área do retângulo.

Passo 2

Escrevemos a relação entre área e dimensões. Para um retângulo,
A = x\,y.
Aqui A é a área em \text{cm}^2, x é a base em \text{cm} e y é a altura em \text{cm}. Ambos x e y dependem do tempo t, por isso A também depende de t.

Passo 3

Para obter a taxa \dfrac{dA}{dt} diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t. Como A é produto de duas funções de t, usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se u(t) e v(t) são funções de t, então
\frac{d}{dt}\big(u v\big) = u\frac{dv}{dt} + v\frac{du}{dt}.
Intuição rápida: uma variação pequena \Delta A causada por \Delta x e \Delta y vale aproximadamente y\,\Delta x + x\,\Delta y; dividindo por \Delta t e passando ao limite obtemos a regra acima.

Passo 4

Aplicando a regra do produto à fórmula A = x y, obtemos
\frac{dA}{dt} = x\frac{dy}{dt} + y\frac{dx}{dt}.
Esta é a fórmula que usaremos. Note que cada termo tem unidade \text{cm}\cdot(\text{cm}/\text{s})=\text{cm}^2/\text{s}, compatível com uma taxa de variação de área.

Passo 5

Substituímos os valores dados no instante considerado: x=3\\ \text{cm}, \dfrac{dx}{dt}=2\\ \text{cm}/\text{s}, y=4\\ \text{cm}, \dfrac{dy}{dt}=-1\\ \text{cm}/\text{s}.
Calculamos cada termo:
x\frac{dy}{dt}=3\cdot(-1)=-3\quad(\text{cm}^2/\text{s}),
y\frac{dx}{dt}=4\cdot 2=8\quad(\text{cm}^2/\text{s}).
Somando,
\frac{dA}{dt} = -3 + 8 = 5\quad(\text{cm}^2/\text{s}).

Passo 6

Interpretação: no instante dado a área está aumentando a uma taxa de 5\\ \text{cm}^2/\text{s}. Uma observação útil para prova: essa é a taxa instantânea. Se você calcular a área após um intervalo finito (por exemplo 1\\ \text{s}) pode obter uma variação diferente porque x e y mudam ao longo do tempo, e por isso \dfrac{dA}{dt} também varia com t. Mas o procedimento para obter a taxa instantânea naquele instante é sempre esse: escrever A=x y, diferenciar e substituir os valores.

Resposta

5\\ \text{cm}^2/\text{s}

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