\hline 14) & \begin{tabular}{l}
Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de
, de modo que o seu raio
passa a ser uma função do tempo. \
- Lembrando que o volume de uma esfera de raio
é
, determine a expressão que relaciona
com a taxa de variação do volume e do raio com respeito ao tempo. \
- Usando os dados do problema, calcule a taxa de variação do raio no instante
em que
. O raio está aumentando ou diminuindo? \
- Sabendo que a área de uma esfera de raio
é
, mostre que a taxa de variação da área superficial (com respeito ao tempo) do balão é inversamente proporcional ao seu raio.
Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de
Passo 1
O enunciado dá um balão esférico cujo raio é uma função do tempo
. As informações e perguntas são:
- Informação: o volume de uma esfera de raio
é . - Informação: a partir de certo instante o gás escapa à razão de
. Ou seja, a taxa de variação do volume é (negativa porque o volume diminui). - Pergunta 1: determinar a expressão que relaciona
com as taxas e . - Pergunta 2: usando os dados, calcular
no instante em que . Dizer se o raio está aumentando ou diminuindo. - Pergunta 3: sabendo que a área superficial de uma esfera de raio
é , mostrar que a taxa é inversamente proporcional ao raio .
Passo 2
Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo (aqui ensino a regra usada): começamos de
Aplicamos a derivada em ambos os lados em relação a
. Para a função composta
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Portanto
Simplificando o
com
obtemos a relação fundamental entre as taxas:
Aqui explicito o que cada variável significa:
é a taxa de variação do volume (unidades de volume por tempo),
é o raio no instante considerado, e
é a taxa de variação do raio (unidades de comprimento por tempo).
Passo 3
Isolamos
na expressão acima para ter a taxa do raio em função de
e de
:
Isto é uma fórmula direta: se você souber a taxa de variação do volume e o raio no instante, obtém a taxa do raio dividindo
por
.
Passo 4
Agora usamos o dado numérico. O gás escapa à razão de
, portanto
. Atenção às unidades: a fórmula do volume usa unidades de volume cúbico compatíveis com a unidade do raio. Se quisermos o resultado com
em metros, convertemos litros para metros cúbicos sabendo que
. Então
Substituindo na fórmula para
e usando
(assumindo o raio dado em metros), obtemos
Se preferir uma aproximação decimal (apenas para intuição),
O sinal negativo diz diretamente que o raio está diminuindo.
Passo 5
Agora tratamos a área superficial. Parte dada:
Derivando em relação a
e aplicando a regra da cadeia:
Substituímos
pela expressão obtida em Passo 3,
:
Simplificando os fatores
e
:
Isto mostra que
é um múltiplo de
: como
é constante,
é inversamente proporcional a
. Em outras palavras existe uma constante
tal que
.
Opcional (valor numérico em metros): usando
e
,