\hline 14) & \begin{tabular}{l}
Suponha que um balão esférico esteja cheio de gás. A partir de um determinado instante, o gás começa a escapar do balão à razão de 2 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, de modo que o seu raio r passa a ser uma função do tempo. \
  1. Lembrando que o volume de uma esfera de raio R>0 é (4 / 3) \pi R^{3}, determine a expressão que relaciona r(t) com a taxa de variação do volume e do raio com respeito ao tempo. \
  2. Usando os dados do problema, calcule a taxa de variação do raio no instante t_{0} em que r\left(t_{0}\right)=1. O raio está aumentando ou diminuindo? \
  3. Sabendo que a área de uma esfera de raio R>0 é 4 \pi R^{2}, mostre que a taxa de variação da área superficial (com respeito ao tempo) do balão é inversamente proporcional ao seu raio.

Passo 1

O enunciado dá um balão esférico cujo raio é uma função do tempo r=r(t). As informações e perguntas são:
  • Informação: o volume de uma esfera de raio R>0 é \displaystyle V(R)=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Informação: a partir de certo instante o gás escapa à razão de 2\\ \mathrm{L/min}. Ou seja, a taxa de variação do volume é \displaystyle \frac{dV}{dt}=-2\\ \mathrm{L/min} (negativa porque o volume diminui).
  • Pergunta 1: determinar a expressão que relaciona r(t) com as taxas \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dr}{dt}.
  • Pergunta 2: usando os dados, calcular \dfrac{dr}{dt} no instante t_{0} em que r(t_{0})=1. Dizer se o raio está aumentando ou diminuindo.
  • Pergunta 3: sabendo que a área superficial de uma esfera de raio R>0 é \displaystyle A(R)=4\pi R^{2}, mostrar que a taxa \dfrac{dA}{dt} é inversamente proporcional ao raio r.

Passo 2

Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo (aqui ensino a regra usada): começamos de
V(t)=\frac{4}{3}\pi \big(r(t)\big)^{3}.
Aplicamos a derivada em ambos os lados em relação a t. Para a função composta \big(r(t)\big)^3 usamos a regra da cadeia: a derivada de r^3 em relação a t é 3r^2\cdot \dfrac{dr}{dt}. Portanto
\frac{dV}{dt}=\frac{4}{3}\pi \cdot 3\,r^{2}\cdot\frac{dr}{dt}.
Simplificando o 3 com \tfrac{4}{3} obtemos a relação fundamental entre as taxas:
\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\,\frac{dr}{dt}.
Aqui explicito o que cada variável significa: \dfrac{dV}{dt} é a taxa de variação do volume (unidades de volume por tempo), r é o raio no instante considerado, e \dfrac{dr}{dt} é a taxa de variação do raio (unidades de comprimento por tempo).

Passo 3

Isolamos \dfrac{dr}{dt} na expressão acima para ter a taxa do raio em função de \dfrac{dV}{dt} e de r:
\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^{2}}\,\frac{dV}{dt}.
Isto é uma fórmula direta: se você souber a taxa de variação do volume e o raio no instante, obtém a taxa do raio dividindo \dfrac{dV}{dt} por 4\pi r^{2}.

Passo 4

Agora usamos o dado numérico. O gás escapa à razão de 2\\ \mathrm{L/min}, portanto \dfrac{dV}{dt}=-2\\ \mathrm{L/min}. Atenção às unidades: a fórmula do volume usa unidades de volume cúbico compatíveis com a unidade do raio. Se quisermos o resultado com r em metros, convertemos litros para metros cúbicos sabendo que 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}. Então
\frac{dV}{dt}=-2\\ \mathrm{L/min}=-2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/min}=-0{,}002\\ \mathrm{m^{3}/min}.
Substituindo na fórmula para \dfrac{dr}{dt} e usando r=1\\ \mathrm{m} (assumindo o raio dado em metros), obtemos
\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi(1)^{2}}\cdot(-0{,}002)=\frac{-0{,}002}{4\pi}=-\frac{1}{2000\pi}\\ \mathrm{m/min}.
Se preferir uma aproximação decimal (apenas para intuição),
\frac{dr}{dt}\approx -1{,}5915\times 10^{-4}\\ \mathrm{m/min}.
O sinal negativo diz diretamente que o raio está diminuindo.

Passo 5

Agora tratamos a área superficial. Parte dada:
A(r)=4\pi r^{2}.
Derivando em relação a t e aplicando a regra da cadeia:
\frac{dA}{dt}=8\pi r\,\frac{dr}{dt}.
Substituímos \dfrac{dr}{dt} pela expressão obtida em Passo 3, \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{4\pi r^{2}}\dfrac{dV}{dt}:
\frac{dA}{dt}=8\pi r\cdot\left(\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}\right).
Simplificando os fatores (8\pi r) e (4\pi r^{2}):
\frac{dA}{dt}=\frac{8\pi r}{4\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}=\frac{2}{r}\,\frac{dV}{dt}.
Isto mostra que \dfrac{dA}{dt} é um múltiplo de \dfrac{1}{r}: como \dfrac{dV}{dt} é constante, \dfrac{dA}{dt} é inversamente proporcional a r. Em outras palavras existe uma constante k=2\,\dfrac{dV}{dt} tal que \dfrac{dA}{dt}=k\cdot\dfrac{1}{r}.
Opcional (valor numérico em metros): usando \dfrac{dV}{dt}=-0{,}002\\ \mathrm{m^{3}/min} e r=1\\ \mathrm{m},
\frac{dA}{dt}=\frac{2}{1}\cdot(-0{,}002)=-0{,}004\\ \mathrm{m^{2}/min}.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\,\frac{dr}{dt}.
\displaystyle \frac{dr}{dt}\Big|_{r=1}=-\frac{1}{2000\pi}\\ \mathrm{m/min} (o raio está diminuindo).
\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{2}{r}\,\frac{dV}{dt}, portanto \dfrac{dA}{dt} é inversamente proporcional a r.

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