\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline & 0,24 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & b. 0,80 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & c. 0,48 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & & & d. 0,60 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & & e. 0,12 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \
\hline 24. & \multicolumn{8}{|c|}{\begin{tabular}{l}
Uma bolinha de certo material, quando colocada em um líquido 1, fica em equilíbrio com metade de seu volume imerso. Quando colocada em outro líquido 2, a mesma bolinha fica em equilibro com 20 \% de seu volume acima da superfície do líquido. Se a densidade do líquido 1 é igual a 1,20 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, qual é a densidade do líquido 2 \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ? \
A. 0,48 \
B. 0,75 \
C. 1,25 \
D. 1,33 \
E. 2,0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informações do enunciado:
    • Uma bolinha fica em equilíbrio em um líquido 1 com metade do seu volume imerso. Ou seja, a fração imersa em líquido 1 é \tfrac{1}{2}.
    • Em outro líquido 2, a mesma bolinha fica em equilíbrio com 20\% do seu volume acima da superfície. Ou seja, a fração imersa em líquido 2 é 1-0,20=0,80.
    • A densidade do líquido 1 é \rho_1 = 1,20\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a densidade do líquido 2 (em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3).

Passo 2

Definimos variáveis e escrevemos a condição de equilíbrio (princípio de Arquimedes) que vamos usar:
  • \rho_b = densidade da bolinha (o que é fixo, mesma bolinha nos dois líquidos).
  • \rho_1 = densidade do líquido 1 (dado: \rho_1=1,20\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3).
  • \rho_2 = densidade do líquido 2 (o que queremos achar).
  • V = volume total da bolinha.
  • V_{\text{sub}} = volume da bolinha que fica submerso.
Conceito chave (explicando bem): o princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo que atua na bolinha é igual ao peso do fluido deslocado. Em equilíbrio flutuante, esse empuxo equilibra o peso da bolinha. Escrevendo isso em fórmula:
\text{empuxo} = \text{peso da bolinha}
ou, em termos de densidades e volumes,
\rho_{\text{líquido}}\; V_{\text{sub}}\; g \;=\; \rho_b\; V\; g,í
onde g é a aceleração da gravidade. Note que g aparece dos dois lados e cancela, e o volume total V também pode ser usado para escrever V_{\text{sub}} = fV, onde f é a fração imersa. Isso simplifica muito a conta.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao líquido 1 para encontrar a densidade da bolinha \rho_b:
  • Fração imersa em líquido 1: f_1=\tfrac{1}{2}.
  • Igualando empuxo e peso e cancelando Vg:
\rho_1 f_1 = \rho_b.
Agora substituímos os valores:
\rho_b = \rho_1 f_1 = 1,20 \times \tfrac{1}{2}.
Fazendo a multiplicação:
1,20 \times \tfrac{1}{2} = 0,60.
Portanto
\rho_b = 0,60\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
Explicação rápida do cálculo: multiplicar por \tfrac{1}{2} é dividir por 2; 1,20\div 2 = 0,60.

Passo 4

Agora aplicamos a mesma relação ao líquido 2 para obter \rho_2.
  • Fração imersa em líquido 2: f_2=0,80 (porque 20\% está acima, então 80\% está submerso).
  • A relação é a mesma: \rho_2 f_2 = \rho_b.
  • Isolando \rho_2:
\rho_2 = \frac{\rho_b}{f_2}.
Substituímos os valores conhecidos:
\rho_2 = \frac{0,60}{0,80}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{0,60}{0,80}. Uma forma prática é multiplicar numerador e denominador por 100 para ficar com inteiros: \dfrac{60}{80}. Simplificando essa fração dividindo por 20:
\frac{60}{80} = \frac{3}{4} = 0,75.
Portanto
\rho_2 = 0,75\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo): se \rho_2=0,75 e a fração submersa é 0,80, então \rho_2 f_2 = 0,75\times 0,80 = 0,60, que é exatamente a densidade da bolinha calculada antes — consistência confirmada.

Passo 7

Na hora da prova: método curto que você pode decorar e aplicar rápido
  • Primeiro use o líquido onde a fração submersa é simples para achar \rho_b = \rho_{\text{líq}}\times fí.
  • Depois use \rho_{\text{outro líq}} = \rho_b / f_{\text{outro}}í.
    Isso evita ter de pensar muito e funciona sempre que a bolinha não muda.

Resposta

B. 0,75\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3

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