Below is a table of values for a continuous function f.
x 0 2 4 7 10 f(x) -100 -1 -3 2 -5
For 0 \leq x \leq 7, what is the fewest possible times f(x)= -2 ?

Passo 1

O enunciado fornece valores de uma função contínua f nos pontos
x=0,2,4,7
com
f(0)=-100,\quad f(2)=-1,\quad f(4)=-3,\quad f(7)=2.
Queremos estimar o número mínimo de soluções de
f(x) = -2
no intervalo [0,7]. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que garante, para função contínua, existência de raiz sempre que há mudança de sinal em extremos de intervalo.

Passo 2

Considere o intervalo [0,2]. Defina g(x)=f(x)+2. Então
g(0) = f(0)+2 = -100+2 = -98 < 0,
g(2) = f(2)+2 = -1+2 = 1 > 0.
Como g é contínua e muda de sinal em [0,2], pelo TVI existe ao menos uma solução de g(x)=0, isto é, de f(x)=-2, em algum x\in(0,2).

Passo 3

Agora o intervalo [2,4]. Temos
g(2) = 1 > 0,
g(4) = f(4)+2 = -3+2 = -1 < 0.
Novamente há mudança de sinal de g, logo pelo TVI existe ao menos uma solução de f(x)=-2 em (2,4).

Passo 4

Por fim, no intervalo [4,7]:
g(4) = -1 < 0,
g(7) = f(7)+2 = 2+2 = 4 > 0.
Mais uma vez, mudança de sinal implica pelo TVI existência de pelo menos uma raiz de f(x)=-2 em (4,7).

Resposta

O número mínimo de vezes que f(x) = -2 ocorre em [0,7] é 3.

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