Determine if the Intermediate Value Theorem holds for the given value of k.
f(x)=3 x^{2}-5 x-2,[a, b]=[0,3], k=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função polinomial
f(x)=3x^{2}-5x-2
no intervalo [a,b]=[0,3] e o valor k=-1. Queremos verificar se o Teorema do Valor Intermediário (TVI) garante a existência de c\in[0,3] tal que f\text{(c)}=k. O TVI exige que f seja contínua em [a,b] e que k esteja entre f(a) e f(b).

Passo 2

Como f é polinômio, ela é contínua em \mathbb{R} e, em particular, em [0,3]. Calculamos os extremos do intervalo:
f(0)=3\cdot0^{2}-5\cdot0-2=-2,
f(3)=3\cdot3^{2}-5\cdot3-2=27-15-2=10.

Passo 3

Note que
f(0)=-2 < -1 < 10 = f(3).
Assim, k=-1 está estritamente entre f(a) e f(b). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c\in[0,3] tal que
f\text{(c)}=k=-1.

Resposta

O Teorema do Valor Intermediário se aplica, pois -2< -1<10, garantindo um c\in[0,3] com f\text{(c)}=-1.

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