1. É bem conhecido que o daltonismo é hereditário. Devido ao fato do gene responsável ser ligado ao sexo, o daltonismo ocorre mais frequentemente nos homens do que nas mulheres. Numa grande população humana, a distribuição de daltonismo da cor vermelho-verde segundo sexo é mostrada a seguir:
Daltonismo Masculino(%) Feminino(%) Total(%)
Presente 4,23 0,65 4,88
Ausente 48,48 46,64 95,12
Total 52,71 47,29 100
a) Uma pessoa dessa população é escolhido ao acaso. Calcule a probabilidade de ela ser:
i) Daltônica;
ii) Daltônica, sabendo-se que é do sexo masculino.
b) Os eventos ser daltônico e ser do sexo masculino são independentes? O que isto significa na prática?
c) Dez pessoas dessa população são selecionadas ao acaso e com repetição. Qual a probabilidade de:
i) Apenas uma ser daltônico?
ii) Todas serem daltônicas?
iii) Duas ou mais serem daltônicas?
iv) No máximo uma ser daltônica?
d) Se 1000 indivíduos são selecionados ao acaso, qual o número esperado de daltônicos?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de daltonismo por sexo numa população grande, conforme a tabela:
Em notação de probabilidade, seja o evento “ser daltônico” e o evento “ser masculino”. Então
Vamos usar conceitos de probabilidade clássica, probabilidade condicional, independência, distribuição binomial e valor esperado.

Passo 2

(a)
i) A probabilidade de uma pessoa ser daltônica é simplesmente
P(D)=0,0488
ii) A probabilidade de ser daltônico sabendo que é masculino é dada por
P(Dmid M)=P(Dcap M)P(M) =0,04230,5271approx0,0802

Passo 3

(b)
Dois eventos D e M são independentes se e somente se
P(Dcap M)=P(D),P(M)
Aqui
P(D),P(M)=0,0488times0,5271approx0,0257neq0,0423=P(Dcap M),
logo não são independentes. Na prática, isso significa que o sexo influencia (aumenta) a chance de daltonismo.

Passo 4

(c) Suponha que X seja o número de daltônicos em n=10 pessoas independentes e com repetição. Então
XsimBinomial(n=10,p=0,0488)
i)
P(X=1)=binom101(0,0488)^1(1-0,0488)^9 approx10cdot0,0488cdot0,9512^9approx0,312
ii)
P(X=10)=(0,0488)^10approx8,4times10^-14
iii)
P(X>=2)=1-l[P(X=0)+P(X=1)r] =1-l(0,9512^10+0,312r)approx0,079
iv)
P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1)approx0,9512^10+0,312approx0,921

Passo 5

(d) Se Y é o número de daltônicos em n=1000 indivíduos independentes, então
YsimBinomial(1000,0,0488),
e o número esperado é
E[Y]=1000cdot0,0488=48,8

Resposta

a)
i) P(D)=0,0488
ii) P(Dmid M)approx0,0802
b) Não são independentes, pois P(Dcap M)neq P(D),P(M). Na prática, ser do sexo masculino altera a chance de daltonismo.
c)
i) P(X=1)approx0,312
ii) P(X=10)approx8,4times10^-14
iii) P(X>=2)approx0,079
iv) P(X<=1)approx0,921
d) Número esperado de daltônicos em 1000 indivíduos: 48,8.

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