(Valor =2 pontos) Numa linha adutora de água de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 4 vazamentos num certo setor de 6 km de extensão?

Passo 1

O enunciado diz que numa linha adutora de extensão total de 60 km ocorrem 30 vazamentos por mês. Queremos a probabilidade de ocorrer, num trecho de 6 km, pelo menos 4 vazamentos no mesmo mês. Vamos modelar o número de vazamentos em um trecho como uma variável aleatória do tipo Poisson, já que vazamentos são eventos raros que ocorrem de forma independente e com taxa proporcional ao comprimento da linha.

Passo 2

Primeiro, calculamos a taxa média de vazamentos por quilômetro. Se em 60 km há em média 30 vazamentos, então em 1 km a taxa é
lambda1 km = 3060 = 0,5 vazamentos por mês ê
Para um trecho de 6 km, a média esperada é
lambda = 6 times 0,5 = 3 vazamentos por mês ê

Passo 3

Seja X o número de vazamentos no trecho de 6 km durante um mês. Então
X sim Poisson(lambda=3)
Queremos
P(X >= 4)

Passo 4

Usamos a complementação da soma das probabilidades de 0 a 3:
P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3) = 1 - sumk=0^3 e^-3,3^kk!

Passo 5

Calculando numericamente:
sumk=0^3 e^-3,3^kk! = e^-3l(1 + 3 + tfrac3^22! + tfrac3^33!r) approx 0,6474,
portanto
P(X >= 4) = 1 - 0,6474 approx 0,3526

Resposta

A probabilidade de ocorrer pelo menos 4 vazamentos no trecho de 6 km é aproximadamente 0,353.

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