(Valor
pontos) Numa linha adutora de água de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 4 vazamentos num certo setor de 6 km de extensão?
Passo 1
O enunciado diz que numa linha adutora de extensão total de
km ocorrem
vazamentos por mês. Queremos a probabilidade de ocorrer, num trecho de
km, pelo menos
vazamentos no mesmo mês. Vamos modelar o número de vazamentos em um trecho como uma variável aleatória do tipo Poisson, já que vazamentos são eventos raros que ocorrem de forma independente e com taxa proporcional ao comprimento da linha.
Passo 2
Primeiro, calculamos a taxa média de vazamentos por quilômetro. Se em
km há em média
vazamentos, então em
km a taxa é
Para um trecho de
km, a média esperada é
Passo 3
Seja
o número de vazamentos no trecho de
km durante um mês. Então
Queremos
Passo 4
Usamos a complementação da soma das probabilidades de
a
:
Passo 5
Calculando numericamente:
portanto
Resposta
A probabilidade de ocorrer pelo menos
vazamentos no trecho de
km é aproximadamente
.