É bem sabido que a frequência angular de pequenas oscilações de um pêndulo plano composto por uma massa
pontual suspensa por uma corda comprimento
e massa desprezível é dada por
. Se
é a frequência angular de pequenas oscilações um pêndulo plano formado por uma barra homogênea de massa
e comprimento
, calcule
.
Passo 1
O enunciado diz: a frequência angular de pequenas oscilações de um pêndulo simples (massa pontual, comprimento
) é
Agora a gente tem um pêndulo físico: uma barra homogênea de massa
e comprimento
, presa em uma das extremidades, e quer saber a razão
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia, torque de restauração, pequenas oscilações. Para resolver precisamos:
– saber onde fica o centro de massa da barra;
– calcular seu momento de inércia em relação ao ponto de apoio;
– usar a fórmula de frequência para pequenas oscilações de um pêndulo físico.
– saber onde fica o centro de massa da barra;
– calcular seu momento de inércia em relação ao ponto de apoio;
– usar a fórmula de frequência para pequenas oscilações de um pêndulo físico.
Passo 2
Teoria do pêndulo físico: para um objeto qualquer girando em torno de um ponto fixo, as pequenas oscilações seguem
onde
– é o momento de inércia em relação ao ponto de giro,
– é a distância entre o ponto de giro e o centro de massa,
– é a massa do objeto,
– é a aceleração da gravidade.
Dessa EDO vemos que a frequência angular é
–
–
–
–
Dessa EDO vemos que a frequência angular é
Passo 3
Para uma barra homogênea de comprimento
:
– o centro de massa fica no meio, logo .
– o momento de inércia em torno de uma extremidade é
– o centro de massa fica no meio, logo
– o momento de inércia em torno de uma extremidade é
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula de
:
Agora a razão pedida: