É bem sabido que a frequência angular de pequenas oscilações de um pêndulo plano composto por uma massa m pontual suspensa por uma corda comprimento l e massa desprezível é dada por omega0=raizg / l. Se omega é a frequência angular de pequenas oscilações um pêndulo plano formado por uma barra homogênea de massa m e comprimento l, calcule omega / omega0.

Passo 1

O enunciado diz: a frequência angular de pequenas oscilações de um pêndulo simples (massa pontual, comprimento l) é
omega0 = raizgl
Agora a gente tem um pêndulo físico: uma barra homogênea de massa m e comprimento l, presa em uma das extremidades, e quer saber a razão
omegaomega0
Conteúdo: pêndulo físico, momento de inércia, torque de restauração, pequenas oscilações. Para resolver precisamos:
– saber onde fica o centro de massa da barra;
– calcular seu momento de inércia em relação ao ponto de apoio;
– usar a fórmula de frequência para pequenas oscilações de um pêndulo físico.

Passo 2

Teoria do pêndulo físico: para um objeto qualquer girando em torno de um ponto fixo, as pequenas oscilações seguem
I,ddottheta + m g d,theta = 0,
onde
I é o momento de inércia em relação ao ponto de giro,
d é a distância entre o ponto de giro e o centro de massa,
m é a massa do objeto,
g é a aceleração da gravidade.
Dessa EDO vemos que a frequência angular é
omega = raizm g,dI

Passo 3

Para uma barra homogênea de comprimento l:
– o centro de massa fica no meio, logo d = tfrac l2.
– o momento de inércia em torno de uma extremidade é
I = 13,m,l^2

Passo 4

Substituindo d=tfrac l2 e I=tfrac13ml^2 na fórmula de omega:
omega = raizm g,(tfrac l2)tfrac13 m l^2 = raizg,l/2(1/3),l^2 = raiz3g2l
Agora a razão pedida:
omegaomega0 = raiztfrac3g2lraiztfracgl = raiz3g2l,lg = raiz32

Resposta

boxedomegaomega0 = raiz32

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