Um corpo rígido possui eixos principais de inércia dados por
em relação a seu centro de massa, e
é um eixo de simetria. Além disso, o corpo experimenta um torque constante (em relação ao centro de massa) dado por
.
Use o resultado do item anterior para obter uma equação para
em função de
, e determine
a partir desse resultado;
Use o resultado do item anterior para obter uma equação para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo rígido que gira em torno de três eixos principais de inércia:
,
e
. O eixo
é um eixo de simetria, o que significa que os momentos de inércia em
e
são iguais. Além disso, está sendo aplicado um torque constante
no centro de massa do corpo. Nosso objetivo é encontrar uma equação que relacione a velocidade angular
com
e determinar a taxa de variação de
em relação ao tempo,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre torque, momento de inércia e como eles se relacionam com a velocidade angular em sistemas rotativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da relação entre torque (
) e momento angular (
). A equação fundamental é:
Isso significa que o torque aplicado a um corpo causa uma mudança no seu momento angular ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, o momento angular
para um corpo rígido em rotação em torno de seus eixos principais é dado por:
Onde
,
e
são os momentos de inércia em relação aos eixos
,
e
, respectivamente, e
,
,
são as componentes da velocidade angular nesses eixos.
Passo 4
Como
é um eixo de simetria, temos que
. Vamos chamar esse valor comum de
. Então, a expressão do momento angular fica:
Passo 5
Ora, o torque aplicado é
. Vamos substituir isso na equação fundamental:
Passo 6
Assumindo que os eixos principais não estão mudando de orientação no tempo (ou seja,
,
,
são fixos no corpo), a derivada do momento angular é:
Passo 7
Comparando os componentes dos dois lados da equação
, temos:
- No eixo
: - No eixo
: - No eixo
:
Passo 8
Das equações acima, vemos que apenas a componente ao longo de
tem um torque aplicado. Isso significa que
e
não estão diretamente influenciados pelo torque aplicado. No entanto, se houver interações internas no corpo que relacionem
e
, podemos explorar essa relação.
Passo 9
Considerando que o torque aplicado não está afetando diretamente
e
, podemos inferir que qualquer variação em
em função de
deve vir de alguma condição ou restrição específica do sistema. Se, por exemplo, houver uma relação dinâmica entre
e
devido à simetria ou outras forças internas, poderíamos expressar
em termos de
.
Passo 10
Entretanto, com as informações dadas e assumindo que não há outras forças ou interações além do torque constante em
, concluímos que:
Resposta
A taxa de variação de
em relação ao tempo é zero: