Benzeno em 20^{\circ} \mathrm{C} possui viscosidade de 0,000651 \mathrm{~Pa}.s. Sabendo que a equação que representa o perfil de velocidades é u =4900 y calcule a tensão de cisalhamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a tensão de cisalhamento:
  • Viscosidade do benzeno a 20^\circ\mathrm{C}: \mu = 0,000651\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Perfil de velocidades: u = 4900\,y.
    O que se pede: calcular a tensão de cisalhamento \tau correspondente a esse perfil de velocidades.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade normal à superfície. A lei de Newton para viscosidade aplicada ao cisalhamento unidimensional é
\tau = \mu\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{Pa}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade: \mathrm{Pa\cdot s}),
  • \dfrac{du}{dy} é a derivada da velocidade em relação à coordenada transversal y (unidade: \mathrm{s^{-1}} se u em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}).
    Observação prática para a prova: identifique \mu, escreva a expressão de u(y), calcule \dfrac{du}{dy} e multiplique por \mu. Não esqueça de usar unidades SI (se y estiver em outra unidade, converta para metros).

Passo 3

Calcular o gradiente de velocidade \dfrac{du}{dy} a partir de u = 4900\,y.
Derivando em relação a y:
\frac{du}{dy} = 4900.
Aqui estamos assumindo que u está em \mathrm{m/s} e y em \mathrm{m}, então \dfrac{du}{dy} tem unidade \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula \tau = \mu\dfrac{du}{dy} e efetuar a multiplicação passo a passo:
\tau = \mu\frac{du}{dy} = 0,000651 \times 4900.
Fazendo a conta de forma dividida:
0,000651\times 4900 = 0,000651\times(49\times 100) = (0,000651\times 49)\times 100.
Calcular 0,000651\times 49:
0,000651\times 49 = 0,000651\times 50 - 0,000651 = 0,03255 - 0,000651 = 0,031899.
Agora multiplicando por 100:
0,031899\times 100 = 3,1899.
Portanto \tau = 3,1899\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Arredondamento e interpretação final:
  • Com os dígitos significativos disponíveis, é razoável apresentar a resposta com três algarismos significativos: \tau \approx 3,19\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação rápida: esse valor é a tensão de cisalhamento constante para esse perfil linear de velocidade (como \dfrac{du}{dy} é constante, a tensão é a mesma para todo y).

Resposta

\tau = 3,19\\ \mathrm{Pa}

Exercícios relacionados