Considerando o número de Mach, em que situações teremos um escoamento incompressível?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Considerando o número de Mach, em que situações teremos um escoamento incompressível?”
Informações/dados relevantes que usaremos:
  • A definição do número de Mach.
  • A ideia de escoamento incompressível: variações relativas de densidade muito pequenas ( \Delta \rho/\rho \ll 1).
  • Relações básicas para gases perfeitos e velocidade do som.

Passo 2

Definir o número de Mach e a velocidade do som.
O número de Mach é a razão entre a velocidade característica do escoamento e a velocidade do som do meio:
M=\dfrac{U}{c},
onde \,U\, é a velocidade do fluido (módulo) e \,c\, é a velocidade do som no meio. Para um gás ideal a velocidade do som vale
c=\sqrt{\gamma R T},
onde \gamma é a razão de capacidades térmicas ( C_P/C_V), R é a constante específica do gás e T a temperatura absoluta. Aqui: explicar o que cada símbolo significa (já foi feito).

Passo 3

O que significa “escoamento incompressível” na prática?
Escoamento incompressível significa que a densidade do fluido permanece praticamente constante ao longo do campo de escoamento, isto é:
\frac{\Delta \rho}{\rho}\ll 1.
Na prova, acostume-se a usar um critério prático: se a variação relativa de densidade for da ordem de poucos por cento, pode-se tratar o escoamento como incompressível.

Passo 4

Estimar a ordem de grandeza das variações de pressão e densidade em função de M.
Uma estimativa simples e muito usada vem da comparação entre a pressão dinâmica e a pressão estática. A pressão dinâmica (ordem de magnitude das variações dinâmicas) é
q\sim\frac{1}{2}\rho U^2.
Usando p=\rho c^2/\gamma (relação entre pressão e densidade/velocidade do som para gás ideal), temos
\frac{q}{p}\sim\frac{\tfrac{1}{2}\rho U^2}{\rho c^2/\gamma}=\frac{\gamma}{2}\,M^2.
Portanto a ordem de grandeza da variação de pressão relativa é
\frac{\Delta p}{p}\sim\frac{\gamma}{2}\,M^2.
Explicação: \Delta p representa a variação de pressão causada pelo movimento; substituir U=cM e simplificar dá a dependência em M^2.

Passo 5

Relacionar \Delta p/p com \Delta \rho/\rho em pequenas perturbações (fluxo quase isentrópico).
Para pequenas variações isentrópicas num gás perfeito vale, em primeira ordem,
\frac{\Delta p}{p}\approx\gamma\,\frac{\Delta \rho}{\rho}.
Isolando \Delta \rho/\rho e usando o resultado do passo anterior:
\frac{\Delta \rho}{\rho}\approx\frac{1}{\gamma}\frac{\Delta p}{p}\sim\frac{1}{\gamma}\cdot\frac{\gamma}{2}M^2=\frac{1}{2}M^2.
Conclusão importante: as variações relativas de densidade escalam como M^2 (num gás), e em magnitude aproximada
\frac{\Delta \rho}{\rho}\sim\frac{1}{2}M^2.
Isso justifica por que o Mach é o parâmetro chave para a compressibilidade.

Passo 6

Usar a estimativa prática para estabelecer um limiar.
Se quiser que \Delta \rho/\rho seja, por exemplo, menor que cerca de 5\% ( 0,05), imponha
\frac{1}{2}M^2\lesssim 0,05 \quad\Rightarrow\quad M^2\lesssim 0,1 \quad\Rightarrow\quad M\lesssim 0,316.
Por isso, a regra de bolso em aerodinâmica e mecânica dos fluidos é que, para gases, o escoamento pode ser tratado como incompressível quando
M\lesssim 0,3.
Explicação intuitiva: para M pequeno as variações de densidade são da ordem de M^2 e portanto negligenciáveis.

Passo 7

Casos especiais e observações práticas (o que aceitar ou não como “incompressível”):
  • Para líquidos (água, óleo) a velocidade do som é muito alta ( c grande), logo mesmo velocidades elevadas dão M muito pequeno; por isso líquidos são geralmente tratados como incompressíveis em quase todas as aplicações práticas.
  • Mesmo que M seja pequeno, fenômenos locais (ondas de choque, aquecimento intenso, combustão, cavitação) podem produzir compressibilidades importantes — então sempre cheque se há esses efeitos.
  • Regiões transônicas ( M\sim 0,8 1,2), supersônicas ( M>1) e hipóteses de choque claramente exigem tratamento compressível.

Passo 8

Resumo de uso na prova / dica prática:
  • Calcule M=U/c.
  • Se M\lesssim 0,3, pode assumir incompressibilidade para um gás e usar as equações incompressíveis (continuidade \nabla\cdot\mathbf{u}=0, etc.).
  • Para líquidos normalmente assumir incompressibilidade sem calcular M é seguro, salvo situações extremas.

Resposta

Gases: quando \,M\lesssim 0,3\, (regra de bolso), porque as variações de densidade são da ordem de \dfrac{\Delta\rho}{\rho}\sim\dfrac{1}{2}M^2 e ficam desprezíveis.
Líquidos: na prática, geralmente incompressíveis para velocidades usuais (pois a velocidade do som é muito alta, logo M\ll 1).

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