Considerando o número de Mach, em que situações teremos um escoamento incompressível?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Considerando o número de Mach, em que situações teremos um escoamento incompressível?”
Informações/dados relevantes que usaremos:
Informações/dados relevantes que usaremos:
- A definição do número de Mach.
- A ideia de escoamento incompressível: variações relativas de densidade muito pequenas (
). - Relações básicas para gases perfeitos e velocidade do som.
Passo 2
Definir o número de Mach e a velocidade do som.
O número de Mach é a razão entre a velocidade característica do escoamento e a velocidade do som do meio:
O número de Mach é a razão entre a velocidade característica do escoamento e a velocidade do som do meio:
onde
é a velocidade do fluido (módulo) e
é a velocidade do som no meio. Para um gás ideal a velocidade do som vale
onde
é a razão de capacidades térmicas (
),
é a constante específica do gás e
a temperatura absoluta. Aqui: explicar o que cada símbolo significa (já foi feito).
Passo 3
O que significa “escoamento incompressível” na prática?
Escoamento incompressível significa que a densidade do fluido permanece praticamente constante ao longo do campo de escoamento, isto é:
Escoamento incompressível significa que a densidade do fluido permanece praticamente constante ao longo do campo de escoamento, isto é:
Na prova, acostume-se a usar um critério prático: se a variação relativa de densidade for da ordem de poucos por cento, pode-se tratar o escoamento como incompressível.
Passo 4
Estimar a ordem de grandeza das variações de pressão e densidade em função de
.
Uma estimativa simples e muito usada vem da comparação entre a pressão dinâmica e a pressão estática. A pressão dinâmica (ordem de magnitude das variações dinâmicas) é
Uma estimativa simples e muito usada vem da comparação entre a pressão dinâmica e a pressão estática. A pressão dinâmica (ordem de magnitude das variações dinâmicas) é
Usando
(relação entre pressão e densidade/velocidade do som para gás ideal), temos
Portanto a ordem de grandeza da variação de pressão relativa é
Explicação:
representa a variação de pressão causada pelo movimento; substituir
e simplificar dá a dependência em
.
Passo 5
Relacionar
com
em pequenas perturbações (fluxo quase isentrópico).
Para pequenas variações isentrópicas num gás perfeito vale, em primeira ordem,
Para pequenas variações isentrópicas num gás perfeito vale, em primeira ordem,
Isolando
e usando o resultado do passo anterior:
Conclusão importante: as variações relativas de densidade escalam como
(num gás), e em magnitude aproximada
Isso justifica por que o Mach é o parâmetro chave para a compressibilidade.
Passo 6
Usar a estimativa prática para estabelecer um limiar.
Se quiser que seja, por exemplo, menor que cerca de
(
), imponha
Se quiser que
Por isso, a regra de bolso em aerodinâmica e mecânica dos fluidos é que, para gases, o escoamento pode ser tratado como incompressível quando
Explicação intuitiva: para
pequeno as variações de densidade são da ordem de
e portanto negligenciáveis.
Passo 7
Casos especiais e observações práticas (o que aceitar ou não como “incompressível”):
- Para líquidos (água, óleo) a velocidade do som é muito alta (
grande), logo mesmo velocidades elevadas dão muito pequeno; por isso líquidos são geralmente tratados como incompressíveis em quase todas as aplicações práticas. - Mesmo que
seja pequeno, fenômenos locais (ondas de choque, aquecimento intenso, combustão, cavitação) podem produzir compressibilidades importantes — então sempre cheque se há esses efeitos. - Regiões transônicas (
– ), supersônicas ( ) e hipóteses de choque claramente exigem tratamento compressível.
Passo 8
Resumo de uso na prova / dica prática:
- Calcule
. - Se
, pode assumir incompressibilidade para um gás e usar as equações incompressíveis (continuidade , etc.). - Para líquidos normalmente assumir incompressibilidade sem calcular
é seguro, salvo situações extremas.
Resposta
Gases: quando
(regra de bolso), porque as variações de densidade são da ordem de
e ficam desprezíveis.
Líquidos: na prática, geralmente incompressíveis para velocidades usuais (pois a velocidade do som é muito alta, logo ).
Líquidos: na prática, geralmente incompressíveis para velocidades usuais (pois a velocidade do som é muito alta, logo