1. Benzeno líquido puro \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}\right) a 290 K escoa na forma de um filme fino ao longo da área externa de um cilindro vertical de 0,08 \mathrm{~m} de diâmetro a uma taxa mássica de 4,0 \mathrm{kg} / \mathrm{h}. Ar seco, a 290 K e 1,0 \mathrm{~atm}, escoa na direção perpendicular ao cilindro a uma velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O benzeno líquido exerce uma pressão de vapor de 8100 Pa . Determine o comprimento do cilindro (em metros) se a superficie externa inteira do cilindro for usada para o processo de evaporação e todo o benzeno que escoa ao longo do cilindro evaporar. Suponha que o ar ambiente serve como um sorvedouro infinito para a transferência de massa.
\begin{aligned} & R_{e}=\frac{x_{0} D}{V}=\frac{4.0,08}{1,478.10^{-5}}=25650,87 \\\ & S_{c}=\frac{\mu}{P_{D_{A B}}}=\frac{D}{P_{A B}}=\frac{1,478 \cdot 10^{-5}}{9,23 \cdot 10^{5}}=1,6 \\\ & \begin{array}{c} 400<R_{e}<2000 s \\\\ 0,6<s_{c}<2,4-\frac{h_{c}\left(s_{c}\right)^{0,56}}{u_{s}}=0,28>\left(R_{e}\right)^{-0,4} \end{array} \\\ & \left.\frac{u_{c}(1,6)^{0,5}}{4}=0,28\right)(2,650,87)^{-0,4} \rightarrow u_{c}=0,016 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ & W_{A}=N_{A} . S \\\ & \text { wra } X_{C}\left(C_{A} \Omega-C_{A \infty}\right)^{\circ} \cdot \pi d . L \\\ & W_{n}=K_{c} \frac{P_{\left(T_{n}\right)}}{R T_{n}} \cdot \pi d c \\\ & r=0,016 \cdot \frac{8100}{8,314,280} \cdot \pi \cdot 0,08 \cdot L \\\ & L=1.06 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o comprimento do cilindro L (em metros) necessário para que todo o benzeno que escorre como filme pelo exterior do cilindro evapore, nas condições dadas. Dados fornecidos pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{diâmetro do cilindro: } d=0{,}08\\ \mathrm{m},\\\ &\text{taxa mássica de benzeno no filme: } \dot{m}=4{,}0\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\text{temperatura: } T=290\\ \mathrm{K},\\\ &\text{ar seco (sorvedouro infinito) a }1{,}0\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{velocidade do ar perpendicular ao cilindro: } U_\infty=4{,}0\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{pressão de vapor do benzeno: } P_{sat}=8100\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}âáã
Objetivo claro: calcular L tal que toda a massa de benzeno \dot{m} seja removida por evaporação na área externa do cilindro \,A=\pi d L. Abaixo começo a resolução passo a passo.

Passo 2

Estratégia e propriedades físicas que vou usar (explicação didática):
  • O processo é de transferência de massa por convecção externa (ar escoando perpendicularmente a um cilindro). A taxa de evaporação por unidade de área pode ser escrita em termos de um coeficiente de transferência de massa convectivo k_c e da diferença de concentração entre superfície e ar distante:
N_A = k_c\left(C_s-C_\infty\right),
onde N_A é o fluxo molar de benzeno (mol,m{-2}s{-1}), C_s é a concentração molar de vapor de benzeno na superfície (mol,m^{-3}) e C_\infty é a concentração no ar distante (aqui assumimos ar seco, C_\infty\approx0). Para obter o coeficiente k_c uso uma correlação empírica através do número de Sherwood:
Sh_d=\frac{k_c d}{D_{AB}},
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão molecular do benzeno no ar e d é o comprimento característico (aqui o diâmetro do cilindro). Dimensionless numbers que aparecem nas correlações:
Re=\frac{U_\infty d}{\nu}\qquad\text{(número de Reynolds)},ú
Sc=\frac{\nu}{D_{AB}}\qquad\text{(número de Schmidt)},ú
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar. Explico rapidamente o sentido: Re mede razão entre efeitos inerciais e viscosos do escoamento; Sc mede razão entre transporte de quantidade de movimento e transporte de massa. Correlações experimentais ligam Sh a Re e Sc.
Propriedades que vou assumir (valores típicos a T=290\\ \mathrm{K}, justifico porque não estão todas no enunciado):
\begin{aligned} &\text{viscosidade dinâmica do ar: }\mu=1{,}8\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &\text{constante dos gases: }R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}},\\\ &\text{massa molar do benzeno: }M=78{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}=0{,}07811\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}},\\\ &\text{pressão atmosférica: }P=1{,}01325\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}âãé
Com isso obtenho a densidade do ar \rho (usar R_{\text{específico}}=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}í):
\rho=\frac{P}{287\,T}=\frac{1{,}01325\cdot10^{5}}{287\cdot290}\\ \mathrm{kg\;m^{-3}} \approx 1{,}217\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
Daí a viscosidade cinemática
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}8\cdot10^{-5}}{1{,}217}\\ \mathrm{m^{2}s^{-1}}\approx 1{,}48\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}s^{-1}}.
Coeficiente de difusão molecular do benzeno no ar: uso um valor típico
D_{AB}=9{,}23\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}s^{-1}},
valor compatível com tabelas para vapores orgânicos em ar a essa temperatura. (Se na sua prova tiver um valor diferente, basta substituir onde eu usei D_{AB}.)

Passo 3

Calcular Re e Sc passo a passo (mostrando contas):
Re=\frac{U_\infty d}{\nu}=\frac{4{,}0\cdot0{,}08}{1{,}48\cdot10^{-5}} =\frac{0{,}32}{1{,}48\cdot10^{-5}}\approx 2{,}16\cdot10^{4}.
Sc=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{1{,}48\cdot10^{-5}}{9{,}23\cdot10^{-6}}\approx 1{,}60.
Interpretação rápida: Re elevado (≈2,2·10^4) indica escoamento externo moderadamente rápido; Sc perto de 1 significa que transporte de quantidade de movimento e massa têm escalas semelhantes.

Passo 4

Escolher e aplicar uma correlação para Sh. Justificativa:
  • Em transferência de massa externa, uma correlação empírica frequentemente usada (válida em ampla faixa de Re e Sc) é
Sh_d=0{,}3+0{,}62\,Re^{1/2}\,Sc^{1/3}.
Essa forma é análoga a correlações experimentais usadas para transporte em escoamento externo (é uma escolha padrão quando não se dá outra correlação específica). Vou aplicar essa fórmula diretamente.
Cálculo numérico:
Re^{1/2}=\sqrt{2{,}16\cdot10^{4}}\approx 147{,}1,\qquad Sc^{1/3}\approx 1{,}60^{1/3}\approx 1{,}169.
Sh_d=0{,}3+0{,}62\cdot147{,}1\cdot1{,}169 =0{,}3+0{,}62\cdot171{,}9\approx0{,}3+106{,}5\approx106{,}8.

Passo 5

Obter o coeficiente de transferência de massa k_c a partir de Sh_d:
k_c=\frac{Sh_d\;D_{AB}}{d} =\frac{106{,}8\cdot9{,}23\cdot10^{-6}}{0{,}08}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Fazendo as contas:
106{,}8\cdot9{,}23\cdot10^{-6}=9{,}86\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}s^{-1}},
k_c=\frac{9{,}86\cdot10^{-4}}{0{,}08}=1{,}233\cdot10^{-2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 6

Determinar a concentração molar do vapor na superfície C_s (pela lei dos gases ideais, já que superfície está na pressão de vapor):
C_s=\frac{P_{sat}}{R\,T}=\frac{8100}{8{,}314\cdot290}\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}.
Calcule:
8{,}314\cdot290=2411{,}06,\qquad C_s=\frac{8100}{2411{,}06}\approx 3{,}359\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}.
Como o ar é seco e atua como sorvedouro infinito, C_\infty\approx0. Então o fluxo molar que atravessa a camada limite é
N_A=k_c\,(C_s-C_\infty)=k_c\,C_s.
Numérico:
N_A=1{,}233\cdot10^{-2}\cdot3{,}359\approx4{,}141\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\;m^{-2}s^{-1}}.
Transformo para fluxo mássico por área usando a massa molar do benzeno M=0{,}07811\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}:
\dot{m}''=N_A\;M=4{,}141\cdot10^{-2}\cdot0{,}07811\approx3{,}233\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kg\;m^{-2}s^{-1}}.
Interpretação: cada metro quadrado da superfície do cilindro, nas condições dadas, remove cerca de 3{,}23\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kg/s} de benzeno por evaporação.

Passo 7

Relacionar área necessária com a taxa mássica fornecida e calcular L.
Primeiro, converto a taxa mássica dada para \mathrm{kg\;s^{-1}}:
\dot{m}=\frac{4{,}0\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}=1{,}111\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kg\;s^{-1}}.
Área externa do cilindro: A=\pi d L. A massa evaporada por segundo é \dot{m}=\dot{m}''\cdot A. Logo
L=\frac{\dot{m}}{\dot{m}''\;\pi d}.
Substituindo números:
L=\frac{1{,}111\cdot10^{-3}}{3{,}233\cdot10^{-3}\cdot\pi\cdot0{,}08}.
Calcule o denominador:
3{,}233\cdot10^{-3}\cdot\pi\cdot0{,}08\approx3{,}233\cdot10^{-3}\cdot0{,}25133\approx8{,}520\cdot10^{-4}.
Então
L=\frac{1{,}111\cdot10^{-3}}{8{,}520\cdot10^{-4}}\approx1{,}37\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação final e observações (breve, motivadora):
  • Resultado obtido: L\approx1{,}37\\ \mathrm{m}. Isso significa que uma barra cilíndrica exposta ao ar nas condições dadas precisa de cerca de 1{,}37\\ \mathrm{m} de comprimento de superfície externa para evaporar os 4{,}0\\ \mathrm{kg/h} de benzeno que escorrem.
  • Observação importante: o resultado depende dos valores de propriedades físicas usados (especialmente D_{AB}, \mu e P_{sat}). Se você tiver valores diferentes na prova, basta substituir nos passos: recalcular \nu, Re, Sc, Sh, k_c, C_s e finalmente L.
  • Você conseguiu! Seguindo esse roteiro dá para reproduzir passo a passo em qualquer questão parecida. Vai dar certo na prova 😃

Resposta

L=1{,}37\\ \mathrm{m}

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