Encontra-se difusão com reação química em várias aplicações dentro da engenharia, como por exemplos: absorção química (absorção de \mathrm{SO}_{2} em ácido sulfúrico), em reações catalisadas por sólidos, como na síntese de amônia (utilizando-se pellets de ferro-alumina como catalisador) e na combustão do carvão, visando gerar energia. Na equação da continuidade molar da espécie A , entra o termo reacional \mathrm{R}_{\mathrm{A}} "’(equação 1). Este termo dependerá do tipo de análise se a reação será homogênea (acontece em todos os pontos do elemento de volume) ou heterogênea (há duas fases para caracterizá-la). Para as situações a seguir, especifique as particularidades e reescreva a Equação da Continuidade, considerando o sistema unidimensional - direçāo Z e regime permanente:
\frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathrm{N}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{R}_{\mathrm{A}}^{\prime \prime}
c) Reação heterogênea em partículas catalíticas não porosas.

Passo 1

O enunciado pede que eu especifique as particularidades e reescreva a equação da continuidade molar para a espécie A, no caso de reação heterogênea em partículas catalíticas não porosas, considerando sistema unidimensional (direção z) e regime permanente.
Informações/condições dadas (ou implicitamente exigidas):
  • Reação heterogênea: ocorre na interface sólido–fluido (superfície externa das partículas).
  • Partículas não porosas: não há difusão interna na partícula; reação ocorre somente na superfície externa.
  • Sistema 1D em z e regime permanente: \partial C_A/\partial t = 0.
  • Pede reescrever a equação da continuidade (a equação-base dada é \displaystyle \frac{\partial C_A}{\partial t} + \nabla\cdot \vec{N}_A = R_A'').

Passo 2

Particularidades físicas do caso “partículas catalíticas não porosas” (explicação didática e intuitiva):
  • Heterogênea: existem duas fases — fluido (onde C_A é medido) e sólido (catalisador). A reação química consume A apenas na superfície externa do sólido.
  • Não porosa: não há poros; portanto, não precisamos modelar difusão dentro da partícula nem concentrações internas. Isso simplifica: toda resistência de transporte além da reação pode estar numa camada limite (filme) externa à partícula.
  • Consequência prática: o termo reacional que entra na equação de balanço do fluido deve representar a perda de A por unidade de volume do reator devido às reações que ocorrem nas superfícies das partículas contidas nesse volume. Para relacionar taxa superficial (mol·m⁻²·s⁻¹) com taxa por volume (mol·m⁻³·s⁻¹) precisamos da área superficial específica das partículas por unidade de volume de reator (m²·m⁻³).

Passo 3

Definições das variáveis e quantidades que vamos usar (unidades e significado):
  • C_A(z): concentração molar de A no fluido (mol·m⁻³), função de z.
  • \vec{N}_A(z) em 1D: fluxo molar de A na direção z (mol·m⁻²·s⁻¹). No caso geral com advecção+difusão usaremos N_A = v C_A - D_{AB}\,dC_A/dz, onde v é velocidade média do fluido (m·s⁻¹) e D_{AB} é o coeficiente de difusão (m²·s⁻¹).
  • r_s''(z): taxa de reação superficial (mol·m⁻²·s⁻¹) sobre a superfície das partículas (função possivelmente de C_{A} local na superfície). O duplo apóstrofo lembra “por área de superfície”.
  • a_s: área superficial específica das partículas por unidade de volume de reator (m²·m⁻³). Por exemplo, se eu tenho n partículas cada uma com área A_p num volume V, então a_s = n A_p / V.
  • R_A^{\prime\prime\prime}(z): taxa efetiva de consumo por unidade de volume do reator (mol·m⁻³·s⁻¹). (Uso triplo apóstrofo para enfatizar “por volume” e distinguir da taxa por área.) Relação: R_A^{\prime\prime\prime} = a_s\, r_s''.
  • k_g: coeficiente de transferência de massa no filme (m·s⁻¹). Relaciona fluxo na interface com diferença de concentração entre bulk e superfície.
  • k_s: constante cinética superficial (por ex. para uma cinética elementar de primeira ordem em superfície, r_s'' = k_s C_{As}), units dependem da ordem.

Passo 4

Transformação da equação da continuidade para 1D e regime permanente:
  • Começo da equação dada:
\frac{\partial C_A}{\partial t} + \nabla\cdot \vec{N}_A = R_A''
  • Em regime permanente \displaystyle \frac{\partial C_A}{\partial t}=0. Em 1D (direção z) a divergência reduz a derivada espacial: \nabla\cdot\vec{N}_A = \dfrac{d N_A}{dz}.
  • Como explicado, para reação superficial em partículas não porosas, o termo que aparece na equação do fluido deve ser a taxa por unidade de volume R_A^{\prime\prime\prime}, obtida multiplicando a taxa superficial por a_s:
R_A^{\prime\prime\prime}(z) = a_s\, r_s''(z).
  • Portanto a equação da continuidade (forma compacta) fica:
\frac{d N_A}{dz} = a_s\, r_s''(z).

Passo 5

Expressão explícita do fluxo \vec{N}_A e forma diferencial da equação (para aplicar na prova):
  • Usando o fluxo convectivo-difusivo unidimensional:
N_A(z) = v\,C_A(z) - D_{AB}\,\frac{d C_A}{dz}.
  • Diferenciando e substituindo na continuidade:
\frac{d}{dz}\!\left( v\,C_A - D_{AB}\,\frac{dC_A}{dz} \right) = a_s\, r_s''(z).
  • Se v e D_{AB} são constantes independentes de z, expandimos:
v\,\frac{dC_A}{dz} - D_{AB}\,\frac{d^2 C_A}{dz^2} = a_s\, r_s''(z).
Esta é a equação diferencial que você deverá resolver em prova, com as condições de contorno apropriadas (ex.: C_A na entrada, ou gradiente nulo, etc.).

Passo 6

Relação superfície–bulk (resistência ao transporte no filme) e expressão para r_s'' — como aplicar na prova:
  • Em partículas não porosas, frequentemente existe resistência de filme entre o fluido bulk (concentração C_A) e a superfície da partícula (concentração na superfície C_{As}). O fluxo do fluido ao redor da partícula é:
\text{fluxo ao nível da superfície} = k_g\,\bigl(C_A - C_{As}\bigr).íí
  • Em regime estacionário local, o fluxo que chega à superfície é consumido pela reação superficial, então:
r_s'' = k_g\,(C_A - C_{As}).
  • Se a cinética superficial for, por exemplo, de primeira ordem na concentração da superfície,
r_s'' = k_s\,C_{As}.
  • Juntando as duas equações (eliminar C_{As}) obtemos, após resolver algebricamente,
r_s'' = \frac{k_g\,k_s}{k_g + k_s}\; C_A.
  • Observação sobre os limites:
    • Se k_g \ll k_s (resistência ao transporte domina), r_s'' \approx k_g\,C_A — controle por transferência de massa.
    • Se k_s \ll k_g (cinética superficial lenta), r_s'' \approx k_s\,C_A — controle cinético.

Passo 7

Equação final completa substituindo uma expressão típica para r_s'':
  • Se assumirmos cinética superficial de primeira ordem ( r_s''=k_s C_{As}) e a relação de filme como acima, usamos o resultado efetivo e obtemos a equação diferencial unidimensional em C_A(z):
v\,\frac{dC_A}{dz} - D_{AB}\,\frac{d^2 C_A}{dz^2} = a_s\,\frac{k_g\,k_s}{k_g + k_s}\; C_A.
  • Esse é o passo que normalmente aparece na prova: reescrever a continuidade incluindo a taxa volumétrica de consumo a_s r_s'' e, se desejado, substituir uma expressão para r_s'' obtida a partir da combinação de transferência de massa no filme e da cinética superficial.

Resposta

\frac{d N_A}{dz} = a_s\, r_s''(z)
N_A(z)=v\,C_A(z)-D_{AB}\,\frac{dC_A}{dz}
\Rightarrow\quad v\,\frac{dC_A}{dz}-D_{AB}\,\frac{d^2C_A}{dz^2}=a_s\,r_s''(z)
(se assumir filme+cinética superficial de 1ª ordem)
r_s''=\frac{k_g\,k_s}{k_g + k_s}\;C_A
\Rightarrow\quad v\,\frac{dC_A}{dz}-D_{AB}\,\frac{d^2C_A}{dz^2}=a_s\,\frac{k_g\,k_s}{k_g + k_s}\;C_A

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