Encontra-se difusão com reação química em várias aplicações dentro da engenharia, como por exemplos: absorção química (absorção de
em ácido sulfúrico), em reações catalisadas por sólidos, como na síntese de amônia (utilizando-se pellets de ferro-alumina como catalisador) e na combustão do carvão, visando gerar energia. Na equação da continuidade molar da espécie A , entra o termo reacional
"’(equação 1). Este termo dependerá do tipo de análise se a reação será homogênea (acontece em todos os pontos do elemento de volume) ou heterogênea (há duas fases para caracterizá-la). Para as situações a seguir, especifique as particularidades e reescreva a Equação da Continuidade, considerando o sistema unidimensional - direçāo Z e regime permanente:
c) Reação heterogênea em partículas catalíticas não porosas.
Passo 1
O enunciado pede que eu especifique as particularidades e reescreva a equação da continuidade molar para a espécie A, no caso de reação heterogênea em partículas catalíticas não porosas, considerando sistema unidimensional (direção
) e regime permanente.
Informações/condições dadas (ou implicitamente exigidas):
Informações/condições dadas (ou implicitamente exigidas):
- Reação heterogênea: ocorre na interface sólido–fluido (superfície externa das partículas).
- Partículas não porosas: não há difusão interna na partícula; reação ocorre somente na superfície externa.
- Sistema 1D em
e regime permanente: . - Pede reescrever a equação da continuidade (a equação-base dada é
).
Passo 2
Particularidades físicas do caso “partículas catalíticas não porosas” (explicação didática e intuitiva):
- Heterogênea: existem duas fases — fluido (onde
é medido) e sólido (catalisador). A reação química consume apenas na superfície externa do sólido. - Não porosa: não há poros; portanto, não precisamos modelar difusão dentro da partícula nem concentrações internas. Isso simplifica: toda resistência de transporte além da reação pode estar numa camada limite (filme) externa à partícula.
- Consequência prática: o termo reacional que entra na equação de balanço do fluido deve representar a perda de
por unidade de volume do reator devido às reações que ocorrem nas superfícies das partículas contidas nesse volume. Para relacionar taxa superficial (mol·m⁻²·s⁻¹) com taxa por volume (mol·m⁻³·s⁻¹) precisamos da área superficial específica das partículas por unidade de volume de reator (m²·m⁻³).
Passo 3
Definições das variáveis e quantidades que vamos usar (unidades e significado):
-
: concentração molar de no fluido (mol·m⁻³), função de . -
em 1D: fluxo molar de na direção (mol·m⁻²·s⁻¹). No caso geral com advecção+difusão usaremos , onde é velocidade média do fluido (m·s⁻¹) e é o coeficiente de difusão (m²·s⁻¹). -
: taxa de reação superficial (mol·m⁻²·s⁻¹) sobre a superfície das partículas (função possivelmente de local na superfície). O duplo apóstrofo lembra “por área de superfície”. -
: área superficial específica das partículas por unidade de volume de reator (m²·m⁻³). Por exemplo, se eu tenho partículas cada uma com área num volume , então . -
: taxa efetiva de consumo por unidade de volume do reator (mol·m⁻³·s⁻¹). (Uso triplo apóstrofo para enfatizar “por volume” e distinguir da taxa por área.) Relação: . -
: coeficiente de transferência de massa no filme (m·s⁻¹). Relaciona fluxo na interface com diferença de concentração entre bulk e superfície. -
: constante cinética superficial (por ex. para uma cinética elementar de primeira ordem em superfície, ), units dependem da ordem.
Passo 4
Transformação da equação da continuidade para 1D e regime permanente:
- Começo da equação dada:
- Em regime permanente
. Em 1D (direção ) a divergência reduz a derivada espacial: . - Como explicado, para reação superficial em partículas não porosas, o termo que aparece na equação do fluido deve ser a taxa por unidade de volume
, obtida multiplicando a taxa superficial por :
- Portanto a equação da continuidade (forma compacta) fica:
Passo 5
Expressão explícita do fluxo
e forma diferencial da equação (para aplicar na prova):
- Usando o fluxo convectivo-difusivo unidimensional:
- Diferenciando e substituindo na continuidade:
- Se
e são constantes independentes de , expandimos:
Esta é a equação diferencial que você deverá resolver em prova, com as condições de contorno apropriadas (ex.:
na entrada, ou gradiente nulo, etc.).
Passo 6
Relação superfície–bulk (resistência ao transporte no filme) e expressão para
— como aplicar na prova:
- Em partículas não porosas, frequentemente existe resistência de filme entre o fluido bulk (concentração
) e a superfície da partícula (concentração na superfície ). O fluxo do fluido ao redor da partícula é:
- Em regime estacionário local, o fluxo que chega à superfície é consumido pela reação superficial, então:
- Se a cinética superficial for, por exemplo, de primeira ordem na concentração da superfície,
- Juntando as duas equações (eliminar
) obtemos, após resolver algebricamente,
- Observação sobre os limites:
- Se
(resistência ao transporte domina), — controle por transferência de massa. - Se
(cinética superficial lenta), — controle cinético.
- Se
Passo 7
Equação final completa substituindo uma expressão típica para
:
- Se assumirmos cinética superficial de primeira ordem (
) e a relação de filme como acima, usamos o resultado efetivo e obtemos a equação diferencial unidimensional em :
- Esse é o passo que normalmente aparece na prova: reescrever a continuidade incluindo a taxa volumétrica de consumo
e, se desejado, substituir uma expressão para obtida a partir da combinação de transferência de massa no filme e da cinética superficial.
Resposta
(se assumir filme+cinética superficial de 1ª ordem)