Num bequer de vidro com água, compondo uma massa de 220 g e numa temperatura inicial de 10^{\circ} \mathrm{C}, é colocado um lingote de cobre de 50 g pré-aquecido num forno a 300^{\circ} \mathrm{C}.
Considere que no experimento a água do bequer
não chega a evaporar.
Determine a temperatura final de equilíbrio formado pelo bequer, água e o lingote de cobre.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final de equilíbrio térmico entre o lingote de cobre e a água (no bequer), sabendo que a água não evapora. Vou listar os dados que temos (peguei estes do enunciado):
  • Massa do lingote de cobre: m_{\text{Cu}} = 50\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{\text{Cu,i}} = 300^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água (no bequer): m_{\text{água}} = 220\\ \mathrm{g}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{água,i}} = 10^\circ\mathrm{C}á.
  • A água não chega a evaporar (portanto podemos usar calor sensível somente).
  • O enunciado não fornece calor específico; vou usar os valores usuais:
    • Calor específico da água: c_{\text{água}} = 4,18\\ \mathrm{J/(g\cdot{}^\circ C)}á.
    • Calor específico do cobre: c_{\text{Cu}} = 0,385\\ \mathrm{J/(g\cdot{}^\circ C)}.
Observação de modelagem (importante): o enunciado menciona o bequer, mas não dá massa nem calor específico do vidro. Para poder resolver com os dados fornecidos, vou assumir que a capacidade térmica do bequer é desprezível frente à da água (ou que os 220\\ \mathrm{g} referem-se essencialmente à água). Se quiser depois que eu inclua um bequer com massa/ calor específico não fornecidos, diga os valores.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Quando duas substâncias trocam calor sem perda para o ambiente, a energia térmica perdida por uma é igual à energia térmica ganha pela outra (conservação de energia térmica).
  • O calor trocado por uma substância quando sua temperatura muda é dado por
Q = m\, c\, \Delta T,
onde:
  • Q é o calor (em joules, \mathrm{J}),
  • m é a massa (em gramas, \mathrm{g}),
  • c é o calor específico (em \mathrm{J/(g\cdot{}^\circ C)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em {}^\circ\mathrm{C}), calculada como T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
Sinal: se uma peça perde calor, Q<0; se ganha calor, Q>0. Para evitar sinais complicados, é comum escrever: calor perdido pelo quente = calor ganho pelo frio, usando sempre magnitudes positivas.

Passo 3

Aplicando a conservação de energia ao problema:
  • O cobre, inicialmente mais quente, perde calor até a temperatura final T_f.
  • A água, inicialmente mais fria, ganha calor até T_f.
  • Assim:
m_{\text{Cu}}\, c_{\text{Cu}} \bigl(T_{\text{Cu,i}} - T_f\bigr) = m_{\text{água}}\, c_{\text{água}} \bigl(T_f - T_{\text{água,i}}\bigr).ááá
Aqui cada lado é uma quantidade positiva (calor perdido pelo cobre à direita da igualdade em magnitude = calor ganho pela água).

Passo 4

Substituo os valores numéricos na equação:
50\cdot 0{,}385\bigl(300 - T_f\bigr) = 220\cdot 4{,}18\bigl(T_f - 10\bigr).
Calculo os produtos das massas pelos calores específicos (capacidades térmicas molares em J/°C):
50\cdot 0{,}385 = 19{,}25\\ \mathrm{J/^\circ C}, \qquad 220\cdot 4{,}18 = 919{,}6\\ \mathrm{J/^\circ C}.
Logo a equação fica
19{,}25\,(300 - T_f) = 919{,}6\,(T_f - 10).

Passo 5

Agora resolvo a equação passo a passo:
Expando ambos os lados:
19{,}25\cdot 300 - 19{,}25\,T_f = 919{,}6\,T_f - 919{,}6\cdot 10.
Calculo os termos numéricos:
19{,}25\cdot 300 = 5775, \qquad 919{,}6\cdot 10 = 9196.
Portanto:
5775 - 19{,}25\,T_f = 919{,}6\,T_f - 9196.
Agora somo 9196 em ambos os lados e somo 19{,}25\,T_f em ambos os lados para isolar T_f:
5775 + 9196 = 919{,}6\,T_f + 19{,}25\,T_f.
Somando:
14971 = 938{,}85\,T_f.
Por fim, isolando T_f:
T_f = \dfrac{14971}{938{,}85}.

Passo 6

Faço a divisão numérica (aproximação razoável de cálculo manual):
T_f \approx 15{,}95^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: o resultado está entre 10^\circ\mathrm{C} e 300^\circ\mathrm{C}, bem próximo de 10^\circ\mathrm{C} porque a água (muito maior capacidade térmica) “puxa” a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.

Passo 7

Comentário e verificação de sensibilidade (útil na prova): se o bequer de vidro tivesse capacidade térmica significativa, a temperatura final seria um pouco menor (mais perto de 10^\circ\mathrm{C}), porque o vidro também absorveria calor. Como não foi dado o dado do bequer, a suposição de desprezá-lo é a mais prática com os dados fornecidos.

Resposta

T_f \approx 15{,}95^\circ\mathrm{C}

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