Em uma biblioteca escolar, a razão entre o número de livros de ficção e de não ficção é 5 : 3. Depois que a escola recebeu 16 novos livros de não ficção, a razão passou a ser 5 : 4. Quantos livros de ficção havia na biblioteca após essa doação?
a) 48 .
b) 60 .
c) 72 .
d) 80 .
e) 96 .
a) 48 .
b) 60 .
c) 72 .
d) 80 .
e) 96 .
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- A razão entre livros de ficção e não ficção é inicialmente
. - Foram recebidos
novos livros de não ficção. - Depois da doação, a razão entre ficção e não ficção passou a ser
.
A pergunta é: quantos livros de ficção havia na biblioteca após essa doação?
Passo 2
Entendendo o que significa uma razão e como modelar isso com uma variável:
- Quando dizemos que a razão entre ficção e não ficção é
, significa que os dois números são múltiplos inteiros desses valores por um mesmo fator comum. Ou seja, existe um número inteiro positivo tal que:
Esse
é chamado de fator de proporcionalidade; ele “escala” a razão
para os números reais da biblioteca.
Passo 3
Modelando a situação depois da doação:
- Após a doação de
livros de não ficção, o número de não ficção passou a ser
- A ficção não mudou com a doação, portanto continua sendo
. - O enunciado diz que a nova razão ficção : não ficção é
. Isso nos dá a equação
Passo 4
Explicando e aplicando a técnica de “cruzar multiplicações” (cross-multiplication):
- Quando temos uma igualdade entre duas frações
(com ), podemos multiplicar em cruz para obter . Isso elimina denominadores e gera uma equação mais simples. - Aplicando isso à nossa equação:
Passo 5
Resolver a equação obtida passo a passo:
- Desenvolvendo os dois lados:
- Isolando
: subtraindo de ambos os lados,
- Dividindo por
,
Passo 6
Encontrar o número de livros de ficção:
- Lembrando que
, substituímos :
- Observação: esse é o número de ficção após a doação também, porque a doação só aumentou os livros de não ficção.
Passo 7
Verificação rápida (para garantir que não houve erro):
- Número inicial de não ficção:
. - Após a doação:
. - A razão
simplifica dividindo por para , que bate com o enunciado. Está correto!