Em uma biblioteca escolar, a razão entre o número de livros de ficção e de não ficção é 5 : 3. Depois que a escola recebeu 16 novos livros de não ficção, a razão passou a ser 5 : 4. Quantos livros de ficção havia na biblioteca após essa doação?
a) 48 .
b) 60 .
c) 72 .
d) 80 .
e) 96 .

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A razão entre livros de ficção e não ficção é inicialmente \,5:3\,.
  • Foram recebidos 16 novos livros de não ficção.
  • Depois da doação, a razão entre ficção e não ficção passou a ser \,5:4\,.
    A pergunta é: quantos livros de ficção havia na biblioteca após essa doação?

Passo 2

Entendendo o que significa uma razão e como modelar isso com uma variável:
  • Quando dizemos que a razão entre ficção e não ficção é \,5:3\,, significa que os dois números são múltiplos inteiros desses valores por um mesmo fator comum. Ou seja, existe um número inteiro positivo k tal que:
\text{ficção} = 5kçã
\text{não ficção} = 3kãçã
Esse k é chamado de fator de proporcionalidade; ele “escala” a razão 5:3 para os números reais da biblioteca.

Passo 3

Modelando a situação depois da doação:
  • Após a doação de 16 livros de não ficção, o número de não ficção passou a ser
3k + 16.
  • A ficção não mudou com a doação, portanto continua sendo 5k.
  • O enunciado diz que a nova razão ficção : não ficção é 5:4. Isso nos dá a equação
\frac{5k}{3k+16}=\frac{5}{4}.

Passo 4

Explicando e aplicando a técnica de “cruzar multiplicações” (cross-multiplication):
  • Quando temos uma igualdade entre duas frações \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} (com b,d\neq0), podemos multiplicar em cruz para obter a d = b c. Isso elimina denominadores e gera uma equação mais simples.
  • Aplicando isso à nossa equação:
5k\cdot 4 = 5\cdot(3k+16).

Passo 5

Resolver a equação obtida passo a passo:
  • Desenvolvendo os dois lados:
20k = 15k + 80.
  • Isolando k: subtraindo 15k de ambos os lados,
20k-15k = 80
5k = 80.
  • Dividindo por 5,
k = 16.

Passo 6

Encontrar o número de livros de ficção:
  • Lembrando que \text{ficção}=5kçã, substituímos k=16:
\text{ficção} = 5\cdot 16 = 80.çã
  • Observação: esse é o número de ficção após a doação também, porque a doação só aumentou os livros de não ficção.

Passo 7

Verificação rápida (para garantir que não houve erro):
  • Número inicial de não ficção: 3k=3\cdot16=48.
  • Após a doação: 48+16=64.
  • A razão 80:64 simplifica dividindo por 16 para 5:4, que bate com o enunciado. Está correto!

Resposta

80 (d)

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