Uma bicicleta parte do repouso e percorre um trajeto reto e nivelado em direção ao norte. Durante os primeiros 4,0 \mathrm{~s} de movimento, o componente voltado para o norte do vetor velocidade da bicicleta é dado por v_{y}(t)=\left(1,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{2}. Qual é a aceleração da bicicleta quando v_{y}=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá o movimento retilíneo da bicicleta na direção norte e pergunta a aceleração no instante em que a componente norte da velocidade vale 12,0\\ \mathrm{m/s}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A bicicleta parte do repouso (isso confirma que o movimento começa em t=0).
  • Para os primeiros 4,0\\ \mathrm{s}, a componente norte da velocidade é
v_{y}(t)=\left(1,20\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)\,t^{2}.
  • Pergunta: qual é a aceleração da bicicleta quando v_{y}=12,0\\ \mathrm{m/s}?

Passo 2

Entendendo o que é aceleração e como obtê‑la: a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem matemática:
a_{y}(t)=\frac{d v_{y}}{d t},
onde \,a_{y}(t)\, é a componente norte da aceleração em \mathrm{m/s^{2}} e \,v_{y}(t)\, está em \mathrm{m/s}. A derivada indica quantos metros por segundo a velocidade muda a cada segundo.

Passo 3

Calcular a derivada da função dada. A função é um polinômio em t:
v_{y}(t)=\left(1,20\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)\,t^{2}.
Derivando em relação a t (regra do potência: \dfrac{d}{dt}[t^{n}]=n t^{n-1}):
a_{y}(t)=\frac{d v_{y}}{d t}=2\cdot\left(1,20\\ \mathrm{m/s^{3}}\right)\,t=\left(2,40\\ \mathrm{m/s^{2}}\right)\,t.
Aqui a unidade faz sentido: coeficiente em \mathrm{m/s^{2}} multiplicado por t em s dá \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Precisamos do valor de a_{y} no instante em que v_{y}=12,0\\ \mathrm{m/s}. Primeiro achamos o instante t que satisfaz v_{y}(t)=12,0. Resolve-se:
\left(1,20\right)\,t^{2}=12,0.
Dividindo ambos os lados por 1,20:
t^{2}=\frac{12,0}{1,20}=10.
Tomando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque t é tempo):
t=\sqrt{10}\\ \mathrm{s}\approx 3,1623\\ \mathrm{s}.
Verificação rápida: esse instante está dentro dos primeiros 4,0\\ \mathrm{s}, então a fórmula dada para v_{y}(t) é aplicável.

Passo 5

Agora substituímos esse t na expressão de a_{y}(t):
a_{y}= \left(2,40\right)\,t = \left(2,40\right)\,\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Podemos dar o valor numérico:
a_{y}\approx 2,40\times 3,1623\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 7,59\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação física: a aceleração é positiva na direção norte, ou seja, a bicicleta está aumentando sua velocidade para o norte naquele instante.

Resposta

a_{y}=7,59\\ \mathrm{m/s^{2}} (norte)

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