Um carro parte do repouso e percorre uma estrada retilínea com uma aceleração constante de
. Após 8 segundos, o motorista aciona os freios, resultando em uma desaceleração constante de
até que o carro pare completamente. Construa os diagramas de espaçotempo (
), velocidade-tempo (
) e aceleração-tempo (
) para todo o percurso do carro.
a) Determine a velocidade máxima atingida pelo carro;
b) Calcule a distância total percorrida;
a) Determine a velocidade máxima atingida pelo carro;
b) Calcule a distância total percorrida;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dados fornecidos:
- O carro parte do repouso, então a velocidade inicial é
. - Aceleração constante inicial é
durante . - Depois, o motorista aciona os freios e passa a haver desaceleração constante
(note o sinal negativo porque é desaceleração) até o carro parar.
- O carro parte do repouso, então a velocidade inicial é
- Perguntas:
(a) Determinar a velocidade máxima atingida pelo carro.
(b) Calcular a distância total percorrida pelo carro.
Passo 2
Método e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo com calma).
Para movimentos com aceleração constante usamos três fórmulas básicas da cinemática retilínea:
- Relação velocidade-tempo:
Aqui
é a velocidade no instante
,
é a velocidade inicial do intervalo considerado,
é a aceleração constante nesse intervalo e
é o tempo decorrido desde o início desse intervalo.
- Equação do espaço (posição) em função do tempo:
Aqui
é a posição no instante
,
é a posição inicial no início do intervalo considerado, o resto como acima.
- Relação que liga velocidades e deslocamento sem usar o tempo:
Aqui
é o deslocamento no intervalo com aceleração constante.
Por que usar essas fórmulas? Porque temos dois trechos com aceleração constante (um positivo e um negativo). Vamos aplicar essas fórmulas separadamente a cada trecho e depois somar deslocamentos.
Passo 3
Cálculos no primeiro trecho (aceleração positiva).
No trecho 1:
, tempo
, partindo do repouso
.
- Velocidade ao final do trecho 1 (que será a velocidade máxima antes de frear), usando
:
Calculando:
- Distância percorrida no trecho 1, usando
. Como partimos de e ,
Calculando:
Passo 4
Cálculos no segundo trecho (frenagem, desaceleração constante).
No trecho 2: aceleração
, velocidade inicial do trecho é
(obtida no passo anterior). Queremos o tempo até parar e o deslocamento durante a frenagem.
- Tempo de frenagem
: usar com quando o carro para:
Substituindo
:
- Deslocamento durante a frenagem
. Podemos usar a relação sem tempo:
Como
é negativo, o sinal cancela. Calculando:
(Outro modo rápido: velocidade média durante frenagem é
, e
. Mesma resposta.)
Passo 5
Distância total, tempo total e valores nas fronteiras (úteis para desenhar os diagramas).
- Distância total percorrida:
- Tempo total do percurso até parar:
- Valores nas fronteiras (para marcar nos gráficos):
- Em
: , . - Em
: , . - Em
: , .
- Em
Passo 6
Funções de cada diagrama (para desenhar exatamente) e descrição de como serão os gráficos.
-
Velocidade-tempo
: duas linhas retas (porque aceleração constante dá v linear em t). - Para
:
- Para
:
- Depois de
, .
Descrição visual: uma reta crescente com inclinaçãoaté alcançando , depois uma reta decrescente com inclinação até chegando a zero. - Para
-
Aceleração-tempo
: função em degrau (constante por trechos). - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Descrição visual: um retângulo emde a , salto para de a , depois volta a zero. - Para
-
Espaço-tempo
: duas parábolas (porque integração de aceleração constante dá termo quadrático). - Para
:
- Para
: tomar como tempo desde o início da frenagem; com e velocidade inicial do trecho ,
Pode-se simplificar se quiser, mas assim fica claro o uso das equações.Descrição visual: dea curva côncava para cima (parábola positiva), em a função continua com mesma posição e slope (continuidade em e ), e de a é uma parábola côncava para baixo que termina em quando . - Para
Dica prática para desenhar os três gráficos: alinhe verticalmente as mesmas marcas de tempo (0, 8, 14 s). No gráfico
marque
em
; no gráfico
marque
em
e
em
; no
desenhe retângulos em
e
.
Resposta
(a)
(b)