Um carro parte do repouso e percorre uma estrada retilínea com uma aceleração constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Após 8 segundos, o motorista aciona os freios, resultando em uma desaceleração constante de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até que o carro pare completamente. Construa os diagramas de espaçotempo ( s t ), velocidade-tempo ( v t ) e aceleração-tempo ( a t ) para todo o percurso do carro.
a) Determine a velocidade máxima atingida pelo carro;
b) Calcule a distância total percorrida;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • O carro parte do repouso, então a velocidade inicial é \,v_0=0\\ \mathrm{m/s}.
    • Aceleração constante inicial é \,a_1=3\\ \mathrm{m/s^{2}} durante \,t_1=8\\ \mathrm{s}.
    • Depois, o motorista aciona os freios e passa a haver desaceleração constante \,a_2=-4\\ \mathrm{m/s^{2}} (note o sinal negativo porque é desaceleração) até o carro parar.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a velocidade máxima atingida pelo carro.
    (b) Calcular a distância total percorrida pelo carro.

Passo 2

Método e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo com calma).
Para movimentos com aceleração constante usamos três fórmulas básicas da cinemática retilínea:
  • Relação velocidade-tempo:
v = v_0 + a\,t
Aqui \,v é a velocidade no instante t, \,v_0 é a velocidade inicial do intervalo considerado, \,a é a aceleração constante nesse intervalo e \,t é o tempo decorrido desde o início desse intervalo.
  • Equação do espaço (posição) em função do tempo:
s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
Aqui \,s é a posição no instante t, \,s_0 é a posição inicial no início do intervalo considerado, o resto como acima.
  • Relação que liga velocidades e deslocamento sem usar o tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta s
Aqui \Delta s = s - s_0 é o deslocamento no intervalo com aceleração constante.
Por que usar essas fórmulas? Porque temos dois trechos com aceleração constante (um positivo e um negativo). Vamos aplicar essas fórmulas separadamente a cada trecho e depois somar deslocamentos.

Passo 3

Cálculos no primeiro trecho (aceleração positiva).
No trecho 1: \,a_1=3\\ \mathrm{m/s^{2}}, tempo \,t_1=8\\ \mathrm{s}, partindo do repouso \,v_0=0.
  • Velocidade ao final do trecho 1 (que será a velocidade máxima antes de frear), usando \,v=v_0+a t:
v_1 = 0 + a_1 t_1 = 3\cdot 8.
Calculando:
v_1 = 24\\ \mathrm{m/s}.
  • Distância percorrida no trecho 1, usando \,s=s_0+v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2. Como partimos de s_0=0 e v_0=0,
s_1 = \tfrac{1}{2} a_1 t_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2.
Calculando:
s_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 64 = \tfrac{3\cdot 64}{2} = \tfrac{192}{2} = 96\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculos no segundo trecho (frenagem, desaceleração constante).
No trecho 2: aceleração \,a_2=-4\\ \mathrm{m/s^{2}}, velocidade inicial do trecho é \,v_1=24\\ \mathrm{m/s} (obtida no passo anterior). Queremos o tempo até parar e o deslocamento durante a frenagem.
  • Tempo de frenagem \,t_2: usar \,v = v_1 + a_2 t_2 com v=0 quando o carro para:
0 = v_1 + a_2 t_2 \quad\Rightarrow\quad t_2 = -\dfrac{v_1}{a_2}.
Substituindo a_2=-4:
t_2 = -\dfrac{24}{-4} = 6\\ \mathrm{s}.
  • Deslocamento durante a frenagem \,s_2. Podemos usar a relação sem tempo:
0^2 = v_1^2 + 2 a_2 \Delta s \quad\Rightarrow\quad \Delta s = -\dfrac{v_1^2}{2 a_2}.
Como a_2 é negativo, o sinal cancela. Calculando:
s_2 = \dfrac{v_1^2}{2\cdot 4} = \dfrac{24^2}{8}.
24^2 = 576\quad\Rightarrow\quad s_2 = \dfrac{576}{8} = 72\\ \mathrm{m}.
(Outro modo rápido: velocidade média durante frenagem é \tfrac{v_1+0}{2}=12\\ \mathrm{m/s}, e s_2 = v_{\mathrm{méd}}\cdot t_2 = 12\cdot 6 =72\\ \mathrm{m}é. Mesma resposta.)

Passo 5

Distância total, tempo total e valores nas fronteiras (úteis para desenhar os diagramas).
  • Distância total percorrida:
s_{\text{total}} = s_1 + s_2 = 96 + 72 = 168\\ \mathrm{m}.
  • Tempo total do percurso até parar:
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = 8 + 6 = 14\\ \mathrm{s}.
  • Valores nas fronteiras (para marcar nos gráficos):
    • Em t=0: s=0, v=0.
    • Em t=8: s=96\\ \mathrm{m}, v=24\\ \mathrm{m/s}.
    • Em t=14: s=168\\ \mathrm{m}, v=0.

Passo 6

Funções de cada diagrama (para desenhar exatamente) e descrição de como serão os gráficos.
  • Velocidade-tempo (v\text{ vs }t): duas linhas retas (porque aceleração constante dá v linear em t).
    • Para 0\le t\le 8:
    v(t)=3t.
    • Para 8\le t\le 14:
    v(t)=24-4(t-8).
    • Depois de t=14, v(t)=0.
    Descrição visual: uma reta crescente com inclinação 3 até t=8 alcançando 24\\ \mathrm{m/s}, depois uma reta decrescente com inclinação -4 até t=14 chegando a zero.
  • Aceleração-tempo (a\text{ vs }t): função em degrau (constante por trechos).
    • Para 0\le t<8: \,a(t)=3\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Para 8\le t<14: \,a(t)=-4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Para t\ge 14: \,a(t)=0.
    Descrição visual: um retângulo em a=3 de t=0 a t=8, salto para a=-4 de t=8 a 14, depois volta a zero.
  • Espaço-tempo (s\text{ vs }t): duas parábolas (porque integração de aceleração constante dá termo quadrático).
    • Para 0\le t\le 8:
    s(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\,t^2 = \tfrac{3}{2}t^2.
    • Para 8\le t\le 14: tomar t'\equiv t-8 como tempo desde o início da frenagem; com s(8)=96 e velocidade inicial do trecho 24,
    s(t)=96 + 24(t-8) + \tfrac{1}{2}(-4)(t-8)^2.
    Pode-se simplificar se quiser, mas assim fica claro o uso das equações.
    Descrição visual: de t=0 a 8 curva côncava para cima (parábola positiva), em t=8 a função continua com mesma posição e slope (continuidade em s e v), e de 8 a 14 é uma parábola côncava para baixo que termina em s=168 quando t=14.
Dica prática para desenhar os três gráficos: alinhe verticalmente as mesmas marcas de tempo (0, 8, 14 s). No gráfico v(t) marque v=24 em t=8; no gráfico s(t) marque s=96 em t=8 e s=168 em t=14; no a(t) desenhe retângulos em a=3 e a=-4.

Resposta

(a) 24\\ \mathrm{m/s}
(b) 168\\ \mathrm{m}

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