Exemplo 04
Um teste Hall é realizado com uma tira do metal bismuto com espessura de
e largura de
. 0 bismuto é um condutor pobre, com densidade de portadores de carga de
.
A voltagem Hall no teste é de
quando a corrente através da amostra é de
. Qual é a intensidade do campo magnético e qual é a intensidade do campo elétrico no interior do bismuto?
A voltagem Hall no teste é de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Qual é a intensidade do campo magnético dentro da amostra (ou seja,
)? - Qual é a intensidade do campo elétrico no interior do bismuto (ou seja,
)?
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
- Espessura da tira:
. - Largura da tira (distância entre as faces onde a voltagem Hall aparece):
. - Densidade de portadores:
. - Voltagem Hall medida:
. - Corrente pela amostra:
.
Observação de conversão de unidades que usarei:
.
Passo 2
Vamos entender a física por trás do que causa a voltagem Hall e obter a fórmula que liga
,
,
,
,
e
. Vou derivar passo a passo e explicar cada símbolo.
- Imagine portadores de carga (carga elementar
para elétrons; numericamente usarei ) se movendo com velocidade de deriva devido à corrente . - A velocidade de deriva
está ligada à corrente pela relação
onde:
-
é a densidade de portadores ( ), -
é a carga de cada portador (para elétron em módulo ), -
é a seção transversal por onde a corrente passa. Aqui (espessura vezes largura). -
Se existir um campo magnético
perpendicular ao plano da tira, os portadores sofrem força magnética e desviam-se, criando um campo elétrico de compensação (campo de Hall). No equilíbrio (quando o campo elétrico impede novo desvio), a força elétrica vale a força magnética:
- A voltagem Hall
é a diferença de potencial ao longo da largura , então
- Substituindo
em termos de :
O fator
cancela, ficando a expressão simples e muito usada:
Aqui:
-
é a voltagem Hall medida, -
é a corrente, -
é o campo magnético (o que queremos), -
é densidade de portadores, -
é a carga elementar ( ), -
é a espessura da amostra.
Essa fórmula é chave: ela mostra que, para uma amostra de espessura
,
é proporcional a
e a
e inversamente proporcional a
e
.
Passo 3
Isolar
na fórmula encontrada. A partir de
temos
Agora vou converter as unidades e calcular numérico passo a passo (tudo retirado do enunciado e constantes conhecidas):
- Converter espessura:
. - Converter largura (só para usar depois no cálculo de
): . - Voltagem Hall:
. - Densidade:
. - Carga elementar:
. - Corrente:
.
Calculemos
:
Multiplicando por
:
Agora o numerador
:
Finalmente, dividindo por
:
Arredondando com precisão razoável (considerando sinais e dados disponíveis), fica
Passo 4
Agora calculamos o campo elétrico de Hall
no interior do bismuto. Pelo que derivamos, o campo elétrico entre as faces laterais é simplesmente
onde
é a largura entre as faces onde a diferença de potencial foi medida.
Usando
e
:
Como checagem rápida (opcional): a relação
também vale. Se quiser, pode calcular a velocidade de deriva
, consistente com correntes densas em condutores pobres.