Exemplo 04

Um teste Hall é realizado com uma tira do metal bismuto com espessura de 0,15 m m e largura de 5,0 m m. 0 bismuto é um condutor pobre, com densidade de portadores de carga de 1,35 \times 10^{25} \mathrm{~m}^{-3}.
A voltagem Hall no teste é de 2,5 \mathrm{mV} quando a corrente através da amostra é de 1,5 \mathrm{~A}. Qual é a intensidade do campo magnético e qual é a intensidade do campo elétrico no interior do bismuto?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Qual é a intensidade do campo magnético dentro da amostra (ou seja, B)?
  • Qual é a intensidade do campo elétrico no interior do bismuto (ou seja, E)?
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
  • Espessura da tira: t = 0,15\\ \mathrm{mm}.
  • Largura da tira (distância entre as faces onde a voltagem Hall aparece): w = 5,0\\ \mathrm{mm}.
  • Densidade de portadores: n = 1,35\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Voltagem Hall medida: V_H = 2,5\\ \mathrm{mV}.
  • Corrente pela amostra: I = 1,5\\ \mathrm{A}.
Observação de conversão de unidades que usarei: 1\\ \mathrm{mm} = 10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos entender a física por trás do que causa a voltagem Hall e obter a fórmula que liga V_H, I, n, e, t e B. Vou derivar passo a passo e explicar cada símbolo.
  • Imagine portadores de carga (carga elementar e para elétrons; numericamente usarei e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}) se movendo com velocidade de deriva v_d devido à corrente I.
  • A velocidade de deriva v_d está ligada à corrente pela relação
v_d = \frac{I}{n q A},
onde:
  • n é a densidade de portadores ( \mathrm{m^{-3}}),
  • q é a carga de cada portador (para elétron em módulo q=e),
  • A é a seção transversal por onde a corrente passa. Aqui A = t\cdot w (espessura vezes largura).
  • Se existir um campo magnético B perpendicular ao plano da tira, os portadores sofrem força magnética e desviam-se, criando um campo elétrico de compensação E_H (campo de Hall). No equilíbrio (quando o campo elétrico impede novo desvio), a força elétrica vale a força magnética:
q E_H = q v_d B \quad\Rightarrow\quad E_H = v_d B.
  • A voltagem Hall V_H é a diferença de potencial ao longo da largura w, então
V_H = E_H\, w = v_d B\, w.
  • Substituindo v_d em termos de I:
V_H = \left(\frac{I}{n q A}\right) B w = \left(\frac{I}{n q (t w)}\right) B w.
O fator w cancela, ficando a expressão simples e muito usada:
V_H = \frac{I B}{n q t}.
Aqui:
  • V_H é a voltagem Hall medida,
  • I é a corrente,
  • B é o campo magnético (o que queremos),
  • n é densidade de portadores,
  • q é a carga elementar ( e),
  • t é a espessura da amostra.
Essa fórmula é chave: ela mostra que, para uma amostra de espessura t, V_H é proporcional a I e a B e inversamente proporcional a n e t.

Passo 3

Isolar B na fórmula encontrada. A partir de
V_H = \frac{I B}{n e t},
temos
B = \frac{V_H\, n e\, t}{I}.
Agora vou converter as unidades e calcular numérico passo a passo (tudo retirado do enunciado e constantes conhecidas):
  • Converter espessura: t = 0,15\\ \mathrm{mm} = 1,5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Converter largura (só para usar depois no cálculo de E): w = 5,0\\ \mathrm{mm} = 5,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Voltagem Hall: V_H = 2,5\\ \mathrm{mV} = 2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
  • Densidade: n = 1,35\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Carga elementar: e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Corrente: I = 1,5\\ \mathrm{A}.
Calculemos n e:
n e = \left(1,35\times10^{25}\right)\left(1,602\times10^{-19}\right) = (1,35\cdot1,602)\times10^{25-19} = 2,1627\times10^{6}\\ \mathrm{C\,m^{-3}}.
Multiplicando por t:
n e\, t = 2,1627\times10^{6}\times1,5\times10^{-4} = 3,24405\times10^{2}.
Agora o numerador V_H\, n e\, t:
V_H\, n e\, t = 2,5\times10^{-3}\times3,24405\times10^{2} = 0,8110125.
Finalmente, dividindo por I:
B = \frac{0,8110125}{1,5} = 0,540675\\ \mathrm{T}.
Arredondando com precisão razoável (considerando sinais e dados disponíveis), fica
B \approx 0,54\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Agora calculamos o campo elétrico de Hall E no interior do bismuto. Pelo que derivamos, o campo elétrico entre as faces laterais é simplesmente
E = \frac{V_H}{w},
onde w é a largura entre as faces onde a diferença de potencial foi medida.
Usando V_H = 2,5\times10^{-3}\\ \mathrm{V} e w = 5,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
E = \frac{2,5\times10^{-3}}{5,0\times10^{-3}} = 0,5\\ \mathrm{V\,m^{-1}}.
Como checagem rápida (opcional): a relação E = v_d B também vale. Se quiser, pode calcular a velocidade de deriva v_d = E/B \approx 0,5/0,54 \approx 0,93\\ \mathrm{m/s}, consistente com correntes densas em condutores pobres.

Resposta

B \approx 0,54\\ \mathrm{T}
E = 0,5\\ \mathrm{V\,m^{-1}}

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