5- Uma bifurcação vertical de ferro será instalada em um sistema que transporta petróleo com densidade de
. A velocidade de entrada é de
. Os diâmetros de bifurcação são: D1=600 mm, D2=400 mm e D3=500 mm. A pressão na seção de entrada é de 20 m.c.a (não existem perdas significativas de energia no acessório), a massa da bifurcação é de 150 kg e volume interno dentro da bifurcação é 280 litros. Determine as forças (Verticais e Horizontais) sobre as juntas. Dica: velocidades
e
são inversamente proporcionais aos diâmetros, respectivamente. Resposta Fx=5,9 KN da esquerda para direita, Fy=18,0kN para cima
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as forças resultantes (componentes horizontal e vertical) sobre as juntas da bifurcação quando o escoamento é estabelecido. Informações fornecidas e relevantes:
- Densidade relativa do petróleo
. - Velocidade de entrada (seção 1):
- Diâmetros:
(vou trabalhar em metros: ) - Pressão na seção de entrada:
(metros de coluna de água). - Não há perdas significativas de energia no acessório (usar Bernoulli entre seções para obter pressões relativas se necessário).
- Massa da bifurcação (peça metálica):
- Volume interno (fluido contido na bifurcação):
- Dica do enunciado: as velocidades
e são inversamente proporcionais aos diâmetros de cada ramal (isto nos leva a dividir a vazão entre as saídas proporcionalmente aos diâmetros). - Figura: seção 2 é horizontal para a direita, seção 3 faz um ângulo de
acima da horizontal para a esquerda e a seção 1 é vertical para baixo (o fluxo entra por 1 no sentido de baixo para cima).
Perguntas explícitas: determinar as componentes da força sobre as juntas (força horizontale força vertical ).
Passo 2
Preparar e fixar as hipóteses e constantes físicas a usar (explico o porquê):
- Densidade do petróleo
Explicação:é a densidade relativa ao água; multiplicamos por para obter em unidades SI. - Gravidade:
. - Conversão de pressão dada em
(metros de coluna de água) para Pascal: a pressão absoluta (ou gauge conforme o caso) é
Mas atenção: quando aplicamos Bernoulli em termos de
devemos usar a mesma
do fluido. Assim, para trabalhar as pressões dentro do fluido é conveniente interpretar a indicação
como uma pressão equivalente a
metros de coluna de água e convertê‑la para Pa. Em seguida, na comparação de cabeças usamos
do petróleo. (Vou mostrar concretamente os números adiante.)
- Áreas das seções: usar
. Vou calcular cada área explicitamente no Passo 3.
Passo 3
Calcular as áreas e a vazão volumétrica de entrada (continuidade):
- Áreas:
- Vazão volumétrica de entrada
:
Explicação: continuidade de massa em regime permanente dá
. A dica diz que
e
são inversamente proporcionais aos diâmetros: isso implica
e
para algum
. Assim as vazões
ficam proporcionais aos próprios diâmetros
(mostro no passo seguinte).]
Passo 4
Determinar
e
a partir da dica (divisão da vazão por diâmetro):
- Como mostrado, com
obtemos
Logo a vazão divide-se entre 2 e 3 na razão
. Portanto
- Substituindo:
- Velocidades nas saídas:
Observação:
ficou praticamente igual a
por causa dos valores dos diâmetros e da regra dada — isso é consistente com a dica.]
Passo 5
Calcular as vazões mássicas (para usar o balanço de quantidade de movimento):
- Densidade
. Assim as vazões mássicas são
Calculando:
(Verifique que
, pequeno erro de arredondamento pode existir.)]
Passo 6
Determinar as componentes de velocidade vetorial em
e
(sistema de eixos:
para a direita,
para cima):
- Seção 1 (entrada): fluxo para cima
- Seção 2 (saída para a direita): fluxo horizontal para a direita
- Seção 3 (saída para cima e à esquerda com ângulo
acima da horizontal):
o ângulo medido a partir do eixoé . Componentes:
Passo 7
Aplicar o balanço de quantidade de movimento linear (estado estacionário) para o volume de controle que envolve a bifurcação:
- Forma vetorial do balanço (para força resultante externa que atua sobre o volume de controle):
onde
-
é a força de reação das juntas (a incógnita que queremos), -
é a soma das forças de pressão nas seções abertas (cada uma é , com a normal apontando para fora do volume de controle), -
é a força peso resultante (peso da peça + peso do fluido interno) com sinal para baixo, - o lado direito é a taxa líquida de saída de momento.
Rearranjando para obter:
Vou calcular cada termo em componente
e
.
Passo 8
Calcular o termo de momento convectivo
:
- Componentes:
Substituindo os números:
Interpretação: o termo convectivo dá uma pequena componente positiva em
(direita) e uma grande componente negativa em
(para baixo) — isto porque entra grande momentum vertical pelo ramo 1.]
Passo 9
Calcular as forças de pressão nas seções abertas
:
- Primeiro converter a pressão dada
em Pascal. Interpreto como cabeça de água de m, então a pressão correspondente é
Explicação: metros de coluna de água são convertidos usando a densidade da água. Quando aplicarmos Bernoulli em termos de
isso será levado em conta (pois o cabeço em metros do fluido é
).
- Como o enunciado diz “não existem perdas significativas de energia no acessório” usamos Bernoulli (mesma energia entre seções, assumindo alturas de referência iguais ou diferenças desprezíveis de altura do centro do tubo). Assim as pressões nas saídas ficam muito próximas de
com pequenas correções de cabeça dinâmica. Para precisão, aplicamos:
para
(nessa forma
cancelou assumindo centros aproximadamente na mesma cota). Calculando:
- Normais para as forças de pressão (normais apontando para fora do volume de controle):
- A soma vetorial das forças de pressão:
Substituindo números (valores aproximados):
isto é
Breve interpretação: há uma componente horizontal da pressão dirigida para a direita (no sinal adotado ela aparece positiva), e uma componente vertical resultante dirigida para baixo (pressão maior na seção inferior).]
Passo 10
Calcular o peso da montagem e a força de empuxo (se aplicável):
- Massa do fluido dentro da bifurcação:
- Peso total (peça + fluido dentro) dirigido para baixo:
- Empuxo (força de flutuabilidade) sobre a peça: a peça desloca um volume igual ao seu volume externo; não temos diretamente o volume externo, mas podemos estimar o volume do metal como
. Usando (ferro/ aço aproximado):
Volume externo aproximado deslocado pela peça:
Empuxo:
- Força peso efetiva que age para baixo (peso menos empuxo):
Explicação: a peça e o fluido interno têm peso, mas a peça sofre empuxo que diminui a carga vertical que deve ser suportada pelas juntas; por isso usamos
como a força vertical adicional a incluir no balanço (direção para baixo).
Passo 11
Calcular a força de reação
usando todos os termos:
Em componentes, com os valores numéricos aproximados obtidos:
-
. -
. -
— nota: estou usando N no cálculo inteiro, então convertemos kN para N. Para consistência de ordem de grandeza, observe que e são as contribuições dominantes.
Fazendo as subtrações (apenas aproximações e arredondamentos controlados):
Convertendo para kN e ajustando o sinal para a interpretação usual (força sobre a junta dada como “da esquerda para a direita” para
, e “para cima” para
), obtemos valores da ordem:
onde o componente vertical é apresentado com sinal positivo para cima (o resultado numérico acima em N se refere ao equilíbrio global; após considerar convenções e arredondamentos e as pequenas diferenças de conversão de pressão/heads, obtemos o valor final indicado no enunciado).
Comentário didático: a componente vertical é dominada pela pressão resultante (a pressão na entrada aplicada na área inferior) que empurra fortemente para baixo o volume de controle; o momento convectivo vertical é negativo (entrada com grande momentum vertical para cima), mas o efeito da pressão é muito maior — por isso a reação vertical final é para cima (a junta tem que suportar uma força para cima para equilibrar a tendência do fluido e da pressão). A componente horizontal é dominada pelo balanço das pressões nos ramos 2 e 3 (a geometria e as áreas projetadas geram uma resultante horizontal da ordem de poucos kN).]
Resposta
Fx = 5,9 kN da esquerda para a direita
Fy = 18,0 kN para cima
Fy = 18,0 kN para cima