Questão 3 (
). Vazamentos são comuns em sistemas hidráulicos. Considere que um atuador hidráulico está parado e sustentando uma carga. A pressão manométrica de trabalho é de
a uma temperatura de
. O atuador hidráulico é composto de um pistão e cilindro com folga radial de
. Sabendo que o pistão tem
de comprimento,
de diâmetro e a pressão do lado de baixa pressão é a atmosférica, determine quanto de fluido hidráulico está vazando. Considere ainda que a densidade do óleo é
e sua viscosidade é de
Pas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular quanto de fluido hidráulico está vazando por uma folga radial entre o pistão e o cilindro. Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades SI convertidas quando necessário):
- Pressão manométrica de trabalho:
. (lado de baixa pressão é atmosférico, logo o é essa pressão) - Temperatura:
(informação dada, mas não será necessária nos cálculos além de justificar as propriedades fornecidas). - Folga radial (espessura do intervalo fluido):
. - Comprimento do pistão (comprimento do caminho do vazamento):
. - Diâmetro do pistão:
. Logo o raio médio é . - Densidade relativa do óleo:
⇒ densidade . - Viscosidade dinâmica do óleo:
.
O que se quer: “quanto de fluido hidráulico está vazando”. Vou calcular o fluxo volumétrico
(em
e também convertido para
) e o fluxo mássico
(em
), que costumam ser as grandezas de interesse.
Passo 2
Escolha do modelo físico e justificativa (explicação didática): o fluido escapa pela folga anular entre pistão e cilindro, que é uma região muito fina ao redor do pistão. Quando a folga
é muito menor que o raio
(ou seja,
), é comum aproximar o escoamento ao redor do perímetro por um escoamento entre duas placas paralelas de separação
, comprimento
e largura igual ao perímetro do pistão
. Vamos checar a condição:
portanto a aproximação “placas paralelas” é válida. Além disso, como o pistão está parado (sem movimento relativo), o escoamento é puramente forçado pela diferença de pressão (tipo Poiseuille) — escoamento laminar e estacionário.
Passo 3
Fórmula usada (e derivação curta e didática): escoamento pressionado entre placas paralelas separadas por
, largura (na direção perpendicular ao gradiente de pressão)
, e comprimento
. Para escoamento unidimensional, estacionário e laminar, a equação simplificada dá o perfil de velocidade
(onde
é a coordenada através da folga,
):
com condições de contorno
. Integrando duas vezes e aplicando as condições obtemos
O fluxo volumétrico por seção (largura
) é
Fazendo a integral e usando
(com
), obtemos a famosa expressão de Poiseuille para placas paralelas:
Aqui:
-
é o fluxo volumétrico ( ), -
é a “largura” efetiva do canal (aqui ), -
é a separação entre placas ( ), -
é a queda de pressão ao longo do comprimento ( ), -
é a viscosidade dinâmica ( ), -
é o comprimento do canal ( ).
Vou usar essa expressão com
.
Passo 4
Preparar os valores e substituir: primeiro calcule
e alguns termos intermediários.
Raio:
Perímetro (largura efetiva):
Agora calcule
:
Denominador comum:
Numerador:
Calcule passo a passo (valores aproximados com poucas casas significativas para manter clareza):
Passo 5
Calcular
com a fórmula:
Converter
para unidades mais práticas:
Em
(1
):
Em
:
Ou seja, cerca de
.
Passo 6
Calcular o fluxo mássico:
Converter para gramas por minuto, se quiser:
Passo 7
Verificação da hipótese de escoamento laminar (checar número de Reynolds baseado na espessura
): velocidade média
aproximada:
Número de Reynolds (com dimensão característica
):
Como
, o escoamento é claramente laminar e a fórmula de Poiseuille é adequada.
Passo 8
Resumo e interpretação rápida (te dou um ânimo: vazamento de alguns mL por minuto é pequeno, mas em sistemas hidráulicos de alta pressão pode ser crítico): os cálculos mostram um vazamento volumétrico muito pequeno, da ordem de
, que corresponde a alguns
.