Questão 3 ( 33, \overline{3} \% ). Vazamentos são comuns em sistemas hidráulicos. Considere que um atuador hidráulico está parado e sustentando uma carga. A pressão manométrica de trabalho é de 22 M P a a uma temperatura de 55^{\circ} \mathrm{C}. O atuador hidráulico é composto de um pistão e cilindro com folga radial de 5 \mu \mathrm{~m}. Sabendo que o pistão tem 15 m m de comprimento, 25 m m de diâmetro e a pressão do lado de baixa pressão é a atmosférica, determine quanto de fluido hidráulico está vazando. Considere ainda que a densidade do óleo é S G=0,92 e sua viscosidade é de \mu=0,018 Pas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quanto de fluido hidráulico está vazando por uma folga radial entre o pistão e o cilindro. Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades SI convertidas quando necessário):
  • Pressão manométrica de trabalho: \Delta p = 22\\ \mathrm{MPa} = 22{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. (lado de baixa pressão é atmosférico, logo o \Delta p é essa pressão)
  • Temperatura: 55^\circ\mathrm{C} (informação dada, mas não será necessária nos cálculos além de justificar as propriedades fornecidas).
  • Folga radial (espessura do intervalo fluido): h = 5\\ \mu\mathrm{m} = 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do pistão (comprimento do caminho do vazamento): L = 15\\ \mathrm{mm} = 0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do pistão: d = 25\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}. Logo o raio médio é R = 0{,}0125\\ \mathrm{m}.
  • Densidade relativa do óleo: S_G = 0{,}92 ⇒ densidade \rho = 0{,}92\times1000 = 920\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica do óleo: \mu = 0{,}018\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
O que se quer: “quanto de fluido hidráulico está vazando”. Vou calcular o fluxo volumétrico Q (em \mathrm{m^3/s} e também convertido para \mathrm{mL/min}) e o fluxo mássico \dot m (em \mathrm{kg/s}), que costumam ser as grandezas de interesse.

Passo 2

Escolha do modelo físico e justificativa (explicação didática): o fluido escapa pela folga anular entre pistão e cilindro, que é uma região muito fina ao redor do pistão. Quando a folga h é muito menor que o raio R (ou seja, h\ll R), é comum aproximar o escoamento ao redor do perímetro por um escoamento entre duas placas paralelas de separação h, comprimento L e largura igual ao perímetro do pistão b\simeq 2\pi R. Vamos checar a condição:
\frac{h}{R}=\frac{5{,}0\times10^{-6}}{0{,}0125}=4{,}0\times10^{-4}\ll1,
portanto a aproximação “placas paralelas” é válida. Além disso, como o pistão está parado (sem movimento relativo), o escoamento é puramente forçado pela diferença de pressão (tipo Poiseuille) — escoamento laminar e estacionário.

Passo 3

Fórmula usada (e derivação curta e didática): escoamento pressionado entre placas paralelas separadas por h, largura (na direção perpendicular ao gradiente de pressão) b, e comprimento L. Para escoamento unidimensional, estacionário e laminar, a equação simplificada dá o perfil de velocidade u(y) (onde y é a coordenada através da folga, 0\le y\le h):
\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dp}{dx},
com condições de contorno u(0)=u(h)=0. Integrando duas vezes e aplicando as condições obtemos
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\bigl(y^2-hy\bigr).
O fluxo volumétrico por seção (largura b) é
Q = b\int_{0}^{h} u(y)\,dy.
Fazendo a integral e usando \Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}} = -\,\frac{dp}{dx}L (com \Delta p>0), obtemos a famosa expressão de Poiseuille para placas paralelas:
Q=\frac{b\,h^{3}\,\Delta p}{12\,\mu\,L}.
Aqui:
  • Q é o fluxo volumétrico ( \mathrm{m^3/s}),
  • b é a “largura” efetiva do canal (aqui b\approx 2\pi R),
  • h é a separação entre placas ( \mathrm{m}),
  • \Delta p é a queda de pressão ao longo do comprimento L ( \mathrm{Pa}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s}),
  • L é o comprimento do canal ( \mathrm{m}).
Vou usar essa expressão com b=2\pi R.

Passo 4

Preparar os valores e substituir: primeiro calcule b e alguns termos intermediários.
Raio:
R=0{,}0125\\ \mathrm{m}.
Perímetro (largura efetiva):
b=2\pi R=2\pi\cdot0{,}0125=0{,}025\pi\\ \mathrm{m}\approx0{,}0785398\\ \mathrm{m}.
Agora calcule h^3:
h^{3}=(5{,}0\times10^{-6})^{3}=1{,}25\times10^{-16}\\ \mathrm{m^3}.
Denominador comum:
12\,\mu\,L=12\cdot0{,}018\cdot0{,}015=0{,}00324\\ \mathrm{Pa\cdot s\cdot m}.
Numerador:
b\,h^{3}\,\Delta p \approx 0{,}0785398\cdot1{,}25\times10^{-16}\cdot22{,}0\times10^{6}.
Calcule passo a passo (valores aproximados com poucas casas significativas para manter clareza):
1{,}25\times10^{-16}\cdot22{,}0\times10^{6}=2{,}75\times10^{-9}.
2{,}75\times10^{-9}\cdot0{,}0785398\approx2{,}15985\times10^{-10}.

Passo 5

Calcular Q com a fórmula:
Q=\frac{b\,h^{3}\,\Delta p}{12\,\mu\,L}=\frac{2{,}15985\times10^{-10}}{0{,}00324}\approx6{,}6667\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter Q para unidades mais práticas:
Q=6{,}6667\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}.
Em \mathrm{mL/s} (1 \mathrm{m^3}=10^{6}\\ \mathrm{mL}):
Q=6{,}6667\times10^{-8}\times10^{6}=6{,}6667\times10^{-2}\\ \mathrm{mL/s}=0{,}066667\\ \mathrm{mL/s}.
Em \mathrm{mL/min}:
Q=0{,}066667\\ \mathrm{mL/s}\times60\approx4{,}000\\ \mathrm{mL/min}.
Ou seja, cerca de 4{,}0\\ \mathrm{mL/min}.

Passo 6

Calcular o fluxo mássico:
\dot m=\rho\,Q=920\cdot6{,}6667\times10^{-8}\\ \mathrm{kg/s}\approx6{,}1333\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
Converter para gramas por minuto, se quiser:
6{,}1333\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}=0{,}061333\\ \mathrm{g/s}\approx3{,}68\\ \mathrm{g/min}.

Passo 7

Verificação da hipótese de escoamento laminar (checar número de Reynolds baseado na espessura h): velocidade média U_{\text{m}} aproximada:
U_{\text{m}}=\frac{Q}{b\,h}=\frac{6{,}6667\times10^{-8}}{0{,}0785398\cdot5{,}0\times10^{-6}}\approx0{,}17\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds (com dimensão característica h):
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_{\text{m}}\,h}{\mu}=\frac{920\cdot0{,}17\cdot5{,}0\times10^{-6}}{0{,}018}\approx4{,}3\times10^{-2}\ll1.
Como \mathrm{Re}\ll1, o escoamento é claramente laminar e a fórmula de Poiseuille é adequada.

Passo 8

Resumo e interpretação rápida (te dou um ânimo: vazamento de alguns mL por minuto é pequeno, mas em sistemas hidráulicos de alta pressão pode ser crítico): os cálculos mostram um vazamento volumétrico muito pequeno, da ordem de 10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}, que corresponde a alguns \mathrm{mL/min}.

Resposta

Q=6,67\times10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}
Q\approx4{,}00\\ \mathrm{mL/min}
\dot m=6{,}13\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}

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