Questão 2(33, \overline{3} \%). Considere o escoamento de água em uma linha que sai de um condensador e alimenta uma bomba. A temperatura é de 40^{\circ} \mathrm{C} e a pressão é a atmosférica. A tubulação é de aço galvanizado com 20,93 \mathrm{~mm} de diâmetro. O equipamento medidor de vazão foi posicionado no centro da tubulação, o que resultou em uma velocidade de U=0,16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a perda de carga por unidade de comprimento desta tubulação.

Passo 1

Dados que o enunciado fornece e o que ele pede:
  • Temperatura da água: 40^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão: pressão atmosférica (não entra diretamente no cálculo da perda de carga neste caso).
  • Diâmetro da tubulação: D=20{,}93\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade medida no centro da tubulação: U=0{,}16\\ \mathrm{m/s}.
  • Tubulação: aço galvanizado (isso nos dá uma rugosidade absoluta típica que precisaremos).
  • Pedido: determinar a perda de carga por unidade de comprimento da tubulação (ou seja, h_f/L; também posso dar a queda de pressão por metro \Delta p /L se for útil).
Observações sobre unidades (já converti sempre que for necessário): diâmetro deverá ficar em metros para os cálculos.

Passo 2

Converter dados e pegar propriedades da água a 40^\circ\mathrm{C}:
  • Converter o diâmetro para metros:
D = 20{,}93\\ \mathrm{mm} = 0{,}02093\\ \mathrm{m}.
  • Valores típicos da água a 40^\circ\mathrm{C} (tabela padrão):
    • Densidade: \rho \approx 992\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu \approx 0{,}000653\\ \mathrm{Pa\cdot s} (ou 6{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}).
  • Calcular a viscosidade cinemática \nu (definição: \nu=\mu/\rho; unidades \mathrm{m^2/s}):
\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{0{,}000653}{992} \approx 6{,}58\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} para saber o regime do escoamento:
  • Definição: \mathrm{Re} = \dfrac{U D}{\nu}, onde
    • U é a velocidade média (aqui usamos U medida),
    • D é o diâmetro,
    • \nu é a viscosidade cinemática.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re} = \frac{0{,}16 \times 0{,}02093}{6{,}58\times 10^{-7}} = \frac{0{,}0033488}{6{,}58\times 10^{-7}} \approx 5{,}09\times 10^{3}.
Interpretação rápida: como \mathrm{Re}\approx 5090, o escoamento está em região transitória/turbulenta (acima de 2300; tipicamente \mathrm{Re}>4000 é turbulento). Portanto devemos usar uma fórmula da perda de carga válida para escoamento turbulento (Darcy–Weisbach) e calcular o fator de atrito apropriado.

Passo 4

Escolher fórmula para perda de carga e explicá-la:
  • Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga total h_f numa tubulação:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{U^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (em metros de coluna de fluido) ao longo do comprimento L,
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • D é o diâmetro interno,
  • U é a velocidade média,
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Como queremos a perda por unidade de comprimento, dividimos por L:
\frac{h_f}{L} = f\,\frac{1}{D}\,\frac{U^2}{2g}.
Explicação: esta fórmula diz que a perda de carga por metro cresce com o fator de atrito f, com o quadrado da velocidade e é inversamente proporcional ao diâmetro.

Passo 5

Escolher e explicar como obter o fator de atrito f:
  • Para escoamento turbulento em tubos rugosos, o fator f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D, pela equação implícita de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Essa equação é implícita em f, então é prática utilizar aproximações explícitas. Uma aproximação explícita muito usada (boa precisão prática) é a fórmula de Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Vou usar a fórmula de Swamee–Jain porque é direta (não precisa de iteração) e tem precisão suficiente para exercícios de prova.

Passo 6

Escolher a rugosidade absoluta \varepsilon para aço galvanizado e calcular \varepsilon/D:
  • Tabelas típicas dão para tubos de aço galvanizado uma rugosidade absoluta aproximada \varepsilon \approx 0{,}15\\ \mathrm{mm} = 1{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
    (Obs.: estou usando esse valor padrão de tabela para aço galvanizado.)
  • Calcular a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{1{,}5\times 10^{-4}}{0{,}02093} \approx 7{,}17\times 10^{-3}.

Passo 7

Calcular o fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain, passo a passo:
  • Relembrando a fórmula:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Calcular os termos internos:
    • \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} = \dfrac{1{,}5\times 10^{-4}}{3{,}7\times 0{,}02093} \approx \dfrac{1{,}5\times 10^{-4}}{0{,}07738} \approx 1{,}94\times 10^{-3}.
    • \mathrm{Re}^{0{,}9} = (5{,}09\times 10^{3})^{0{,}9} \approx 2{,}19\times 10^{3}. (usei exponenciação: \exp(0{,}9\ln(5{,}09\times10^3)).)
    • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \dfrac{5{,}74}{2{,}19\times 10^{3}} \approx 2{,}62\times 10^{-3}.
  • Somando os termos:
\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 1{,}94\times 10^{-3} + 2{,}62\times 10^{-3} = 4{,}56\times 10^{-3}.
  • Tomando o logaritmo:
\log_{10}\!\left(4{,}56\times 10^{-3}\right) \approx -2{,}340.
  • Calculando f:
f = \frac{0{,}25}{(-2{,}340)^2} = \frac{0{,}25}{5{,}476} \approx 0{,}0456.
Então o fator de atrito resultante é aproximadamente f \approx 0{,}0456.

Passo 8

Calcular a perda de carga por unidade de comprimento \dfrac{h_f}{L}:
  • Usamos a expressão:
\frac{h_f}{L} = f\,\frac{1}{D}\,\frac{U^2}{2g}.
  • Primeiro calcule \dfrac{U^2}{2g}:
\frac{U^2}{2g} = \frac{(0{,}16)^2}{2\times 9{,}81} = \frac{0{,}0256}{19{,}62} \approx 1{,}305\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Agora plugando tudo:
\frac{h_f}{L} = 0{,}0456 \times \frac{1}{0{,}02093} \times 1{,}305\times 10^{-3}.
Calcule passo a passo:
\frac{1}{D} = \frac{1}{0{,}02093} \approx 47{,}78\\ \mathrm{m^{-1}},
47{,}78 \times 1{,}305\times 10^{-3} \approx 0{,}06237,
\frac{h_f}{L} \approx 0{,}0456 \times 0{,}06237 \approx 2{,}846\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/m}.
Arredondando com apresentação razoável: \dfrac{h_f}{L} \approx 2{,}85\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\\ de\\ água\\ por\\ metro\\ de\\ tubo}á.

Passo 9

(opcional) Converter perda de carga em queda de pressão por unidade de comprimento:
  • Relação entre perda de carga em metros e queda de pressão:
\frac{\Delta p}{L} = \rho g \frac{h_f}{L}.
Substituindo os valores:
\frac{\Delta p}{L} \approx 992 \times 9{,}81 \times 2{,}846\times 10^{-3} \approx 27{,}7\\ \mathrm{Pa/m}.
Comentário de incentivo: deu um número bem pequeno — isso é esperado porque a velocidade é baixa e o tubo é relativamente curto; o importante é entender os passos: Re → regime → escolher fórmula para f → Darcy–Weisbach.

Resposta

\dfrac{h_f}{L} \approx 2{,}85\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/m}\n \dfrac{\Delta p}{L} \approx 27{,}7\\ \mathrm{Pa/m}

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