1. A 300-\mathrm{mm}-wide strip 25-\mathrm{mm} thick is fed through a rolling mill with two powered rolls each of radius =250 \mathrm{~mm}. The work thickness is to be reduced to 22 mm in one pass at a roll speed of 50 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. The work material has a flow curve defined by K=275 \mathrm{MPa} and n=0.15, and the coefficient of friction between the rolls and the work is assumed to be 0.12. Determine if the friction is sufficient to permit the rolling operation to be accomplished. If so, calculate the roll force, torque, and horsepower.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Largura da tira: B=300\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura inicial: h_0=25\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura final desejada: h_1=22\\ \mathrm{mm}.
  • Redução por passagem: \Delta h = h_0-h_1 = 3\\ \mathrm{mm}.
  • Raio dos roletes: R=250\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade dos rolos: N=50\\ \mathrm{rev/min}.
  • Curva de escoamento (lei de Hollomon): \sigma = K\,\varepsilon^{\,n} com K=275\\ \mathrm{MPa} e n=0{,}15.
  • Coeficiente de atrito roll–peça: \mu=0{,}12.
O enunciado pede:
  1. Verificar se o atrito é suficiente para conseguir entrar a peça entre os rolos (isto é, se a redução de 3\\ \mathrm{mm} é admissível com \mu=0{,}12).
  2. Se for possível, calcular a força de rolagem (roll force), o torque nos rolos e a potência (horsepower).

Passo 2

Condição de entrada por atrito (intuição e fórmula usada).
  • Para que a tira seja puxada para dentro do arço de contato sem escorregar totalmente, existe uma condição geométrica envolvendo o ângulo de contato. Para pequenos decréscimos de espessura pode aproximar-se a meia‑abertura do contato por
\alpha \approx \sqrt{\dfrac{\Delta h}{R}},
onde \alpha é a meia‑abertura (em radianos).
  • Uma condição comum e simples (aplicável em aproximação para pequenas deformações) para que o atrito seja suficiente é
\mu \ge \tan\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right).
  • Para pequenos ângulos usa-se \tan(\alpha/2)\approx \alpha/2. Assim a condição torna‑se aproximadamente
\mu \gtrsim \dfrac{\alpha}{2} \approx \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\Delta h}{R}}.
  • Reorganizando, obtemos uma expressão para a redução máxima permissível (aproximação):
\Delta h_{\max} \approx 4\,\mu^{2}\,R.
Aplicando números (tudo em mm e sem esquecer unidades):
\Delta h_{\max} \approx 4\times(0{,}12)^{2}\times 250 =4\times 0{,}0144\times 250 =14{,}4\\ \mathrm{mm}.
Comparando com a redução desejada:
\Delta h = 3\\ \mathrm{mm} \le \Delta h_{\max}=14{,}4\\ \mathrm{mm}.
Portanto, a fricção é suficiente para puxar a tira para dentro do arço de contato e realizar a redução em uma passada.

Passo 3

Comprimento de contacto aproximado (importante para força).
  • Para pequenos decréscimos de espessura, o comprimento de contacto projetado l (medido ao longo da tira) pode aproximar‑se por
l \approx 2\sqrt{R\,\Delta h}.
  • Substituindo:
l = 2\sqrt{250\times 3} = 2\sqrt{750} \approx 54{,}772\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Cálculo da deformação verdadeira média e da tensão média de escoamento.
  • Em deformação plana (aproximação de fita larga), a deformação verdadeira de compressão na espessura é
\varepsilon = \ln\!\left(\dfrac{h_0}{h_1}\right).
  • Calculemos:
\varepsilon = \ln\!\left(\dfrac{25}{22}\right) \approx 0{,}127833.
  • A curva de escoamento dada é \sigma = K\,\varepsilon^{n}. Para obter uma tensão média de escoamento ao longo da deformação inteira, integramos a lei entre 0 e \varepsilon e dividimos por \varepsilon. Assim a tensão média efetiva (média sobre a faixa de deformação) fica
\bar{\sigma}=\dfrac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}K\,\varepsilon'^{\,n}\,d\varepsilon' = \dfrac{K}{\varepsilon}\cdot\dfrac{\varepsilon^{\,n+1}}{n+1} = \dfrac{K\,\varepsilon^{\,n}}{n+1}.
  • Essa fórmula significa: pega‑se o valor médio da tensão ao longo do caminho de deformação; K e n definem como a tensão varia com a deformação.
Calculemos \bar{\sigma}:
\varepsilon^{\,n} = (0{,}127833)^{0{,}15} \approx 0{,}73445,
\bar{\sigma} = \dfrac{275\\ \mathrm{MPa}\times 0{,}73445}{1{,}15} \approx 175{,}64\\ \mathrm{MPa}.
Portanto uma boa aproximação para a tensão média resistindo à deformação é \bar{\sigma}\approx 175{,}6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Força de rolagem (roll force).
  • Para uma tira muito larga (aproximação de placa plana), a força por unidade de largura (isto é, por mm de largura) pode aproximar‑se por
P' \approx \bar{\sigma}\,l,
onde l é o comprimento de contacto (mm) e \bar{\sigma} está em \mathrm{N/mm^{2}} (MPa).
  • Calculando P':
P' = 175{,}64\\ \mathrm{N/mm^{2}}\times 54{,}772\\ \mathrm{mm}\approx 9{,}619{,}8\\ \mathrm{N/mm}.
  • A força total P é P' \times B (largura em mm):
P = 9{,}619{,}8\\ \mathrm{N/mm}\times 300\\ \mathrm{mm} \approx 2{,}885{,}940\\ \mathrm{N}.
  • Em unidades mais usuais: P\approx 2{,}886\times 10^{6}\\ \mathrm{N} (≈ 2{,}886\\ \mathrm{MN}).
Observação didática: a expressão P=\bar{\sigma} l B é uma aproximação prática largamente usada em cálculos iniciais de rolamento para fitas largas; ela assume que a pressão média ao longo do arco é parecida com a tensão média de escoamento integrada sobre a deformação.

Passo 6

Velocidade periférica, potência e torque.
  • Velocidade periférica do rolo (em m/s):
v = 2\pi R \dfrac{N}{60}.
Com R=0{,}25\\ \mathrm{m} e N=50\\ \mathrm{rev/min}:
v = 2\pi\times 0{,}25\times\dfrac{50}{60}\approx 1{,}3089969\\ \mathrm{m/s}.
  • Potência mecânica requerida para manter a rolagem (potência útil de deformação):
P_{\text{pot}} = F_{\text{total}}\times v = 2{,}885{,}940\\ \mathrm{N}\times 1{,}3089969\\ \mathrm{m/s} \approx 3{,}778{,}630\\ \mathrm{W}.
Isto é aproximadamente 3{,}779\\ \mathrm{MW} ou 3{,}779\\ \mathrm{kW}.
  • Conversão para horsepower (HP mecânico, 1\\ \mathrm{HP}\approx 745{,}7\\ \mathrm{W}):
\text{HP}\approx \dfrac{3{,}778{,}630}{745{,}7}\approx 5{,}067\\ \mathrm{hp}.
  • Torque transmissível necessário: a potência total é fornecida por ambos os rolos que são motorizados. A relação entre torque por rolete T_{\text{rol}}, força total P (neste caso força de rolagem) e raio R é:
\text{potência total} = 2\cdot\left(T_{\text{rol}}\cdot \omega\right),ê
onde \omega = 2\pi N/60. Mais direto: como v=\omega R, obtém‑se
T_{\text{rol}} = \dfrac{P_{\text{total}}\,R}{2}.
  • Calculando:
T_{\text{rol}} = \dfrac{2{,}885{,}940\\ \mathrm{N}\times 0{,}25\\ \mathrm{m}}{2} \approx 360{,}742{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto cada rolete deve fornecer um torque da ordem de 3{,}61\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

Fricção suficiente: Sim.
Força de rolagem (separação): P \approx 2{,}885{,}940\\ \mathrm{N} (≈ 2{,}886\\ \mathrm{MN}).
Torque por rolete (cada um, assumindo ambos motorizados): T_{\text{rol}} \approx 360{,}743\\ \mathrm{N\cdot m}.
Potência requerida: P_{\text{pot}} \approx 3{,}778{,}630\\ \mathrm{W} (≈ 3{,}779\\ \mathrm{kW} 5{,}067\\ \mathrm{hp}).

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