Binômio de Newton
Qual é o maior termo do desenvolvimento de
?
Qual é o maior termo do desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado pede: determinar qual é o maior termo do desenvolvimento de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - Queremos identificar, entre os termos da expansão binomial, qual termo tem o maior valor numérico.
Passo 2
Lembrete (Binômio de Newton): o desenvolvimento de
é
onde
é o coeficiente binomial.
No nosso caso ,
e
. Portanto o termo geral (o termo correspondente a
) é
No nosso caso
para
.
Passo 3
Estratégia para encontrar o maior termo: todos os termos são positivos, então a sequência
primeiro cresce enquanto
e depois decresce. Logo podemos estudar a razão entre termos consecutivos
Se
então
(a sequência sobe nesse passo); se
então desce. O máximo ocorre onde a razão passa de maior que
para menor que
.
Passo 4
Calcular
. Usando a expressão de
:
Sabendo que
com
temos
Passo 5
Determinar para quais
vale
(onde a sequência ainda sobe). Resolvemos a desigualdade
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Desenvolvendo:
Logo
Como
é inteiro, isso significa que para
temos
(a sequência ainda sobe de
para
), e para
temos
(a sequência já começa a descer).
Passo 6
Interpretação: como
e
, os termos aumentam até
e depois diminuem. Portanto o termo máximo é o termo com
.
Passo 7
Escrever o maior termo explicitamente. O maior termo é