Binômio de Newton
Qual é o maior termo do desenvolvimento de \left(1+\frac{1}{3}\right)^{65} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar qual é o maior termo do desenvolvimento de \left(1+\frac{1}{3}\right)^{65}.
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \left(1+\frac{1}{3}\right)^{65}.
  • Queremos identificar, entre os termos da expansão binomial, qual termo tem o maior valor numérico.

Passo 2

Lembrete (Binômio de Newton): o desenvolvimento de (a+b)^n é
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial.
No nosso caso n=65, a=1 e b=\dfrac{1}{3}. Portanto o termo geral (o termo correspondente a k) é
T_k=\binom{65}{k}1^{\,65-k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\binom{65}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k},
para k=0,1,\dots,65.

Passo 3

Estratégia para encontrar o maior termo: todos os termos são positivos, então a sequência \{T_k\} primeiro cresce enquanto T_{k+1}>T_k e depois decresce. Logo podemos estudar a razão entre termos consecutivos
r_k=\frac{T_{k+1}}{T_k}.
Se r_k>1 então T_{k+1}>T_k (a sequência sobe nesse passo); se r_k<1 então desce. O máximo ocorre onde a razão passa de maior que 1 para menor que 1.

Passo 4

Calcular r_k. Usando a expressão de T_k:
r_k=\frac{\binom{65}{k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1}}{\binom{65}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}} =\frac{\binom{65}{k+1}}{\binom{65}{k}}\cdot\frac{1}{3}.
Sabendo que
\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{n-k}{k+1},
com n=65 temos
r_k=\frac{65-k}{k+1}\cdot\frac{1}{3}.

Passo 5

Determinar para quais k vale r_k\ge 1 (onde a sequência ainda sobe). Resolvemos a desigualdade
\frac{65-k}{k+1}\cdot\frac{1}{3}\ge 1.
Multiplicando ambos os lados por 3(k+1)>0 obtemos
65-k \ge 3(k+1).
Desenvolvendo:
65-k \ge 3k+3 \quad\Longrightarrow\quad 65-3 \ge 4k \quad\Longrightarrow\quad 62 \ge 4k.
Logo
k \le \frac{62}{4}=15{,}5.
Como k é inteiro, isso significa que para k\le 15 temos r_k\ge1 (a sequência ainda sobe de T_k para T_{k+1}), e para k\ge 16 temos r_k<1 (a sequência já começa a descer).

Passo 6

Interpretação: como r_{15}>1 e r_{16}<1, os termos aumentam até T_{16} e depois diminuem. Portanto o termo máximo é o termo com k=16.

Passo 7

Escrever o maior termo explicitamente. O maior termo é
T_{16}=\binom{65}{16}\left(\frac{1}{3}\right)^{16}.

Resposta

\displaystyle \binom{65}{16}\left(\frac{1}{3}\right)^{16}

Exercícios relacionados