1- O bloco de 10 kg tem uma velocidade inicial de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre um plano liso. Uma força \mathrm{F}=(2,5 \mathrm{t}) \mathrm{kg}, onde t é dado em segundos, age sobre o bloco durante 3 s . Determine a velocidade final do bloco e a distancia que ele percorre nesse tempo.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=10,kg que se move numa superfície lisa (sem atrito) com velocidade inicial v(0)=10,m/s e sobre o qual atua, de t=0 até t=3,s, uma força dependente do tempo
F(t)=2{,}5\,t\quad\text{(N)}.
Queremos a velocidade final v(3) e a distância percorrida s(3). O conteúdo principal é a segunda lei de Newton,
m\frac{dv}{dt}=F(t),
e a integração de funções de t.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton:
m\frac{dv}{dt}=2{,}5\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dt}=\frac{2{,}5\,t}{10}=0{,}25\,t.

Passo 3

Integramos em t para obter v(t).
\int dv=\int 0{,}25\,t\,dt \quad\Longrightarrow\quad v(t)=0{,}25\cdot\frac{t^2}{2}+C =\frac{1}{8}t^2+C.
Como v(0)=10, fica C=10. Assim,
v(t)=\frac{1}{8}t^2+10.

Passo 4

A velocidade no instante t=3,s é
v(3)=\frac{1}{8}\,3^2+10 =\frac{9}{8}+10 =11{,}125\\ \text{m/s}.

Passo 5

Para a distância s(t) usamos v(t)=ds/dt e integramos novamente:
s(t)=\int \Bigl(\frac{1}{8}t^2+10\Bigr)\,dt =\frac{1}{8}\cdot\frac{t^3}{3}+10\,t +C' =\frac{t^3}{24}+10\,t +C'.
Como s(0)=0, temos C'=0. Logo
s(t)=\frac{t^3}{24}+10\,t.

Passo 6

A distância percorrida até t=3,s é
s(3)=\frac{3^3}{24}+10\cdot3 =\frac{27}{24}+30 =31{,}125\\ \text{m}.

Resposta

A velocidade final é 11{,}125,m/s e a distância percorrida é 31{,}125,m.

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