(3,0 pontos) Centro de massa: João, de massa M_{J}, e Maria, mais leve que João e de massa M_{m}, estão em pé em extremos opostos de uma canoa de massa M_{C} e comprimento l que se encontra em repouso relativo às águas de uma lagoa. Num certo instante, eles resolvem trocar de lugar. Observando a margem da lagoa, João verifica que, após trocar de lugar com Maria, a canoa se desloca de uma distância d em relação à água. Supondo que o atrito entre a canoa e a água seja desprezível, determine a massa de Maria em termos das massas M_{J}, M_{C}, do comprimento da canoa l e do deslocamento centro de massa da canoa d

Passo 1

O enunciado descreve João, de massa M_{J}, e Maria, de massa M_{m}, nas extremidades de uma canoa de massa M_{C} e comprimento l. Não há atrito horizontal com a água, logo o centro de massa (COM) do sistema cano a+J o+Maria permanece fixo em relação à água. Após trocarem de lugar, a canoa desloca-se uma distância d. Vamos usar conservação do COM para achar M_{m}.

Passo 2

Escolhemos um eixo x horizontal de modo que, inicialmente, o centro da canoa esteja em x_{0}. Então João está em x_{J}^{\text{i}}=x_{0}+\tfrac{l}{2} e Maria em x_{m}^{\text{i}}=x_{0}-\tfrac{l}{2}. Definindo M_{\text{tot}}=M_{J}+M_{m}+M_{C}, o COM inicial é
X_{\text{COM}}^{\text{i}} =\frac{M_{J}(x_{0}+\tfrac{l}{2})+M_{m}(x_{0}-\tfrac{l}{2})+M_{C}\,x_{0}}{M_{\text{tot}}} =x_{0}+\frac{l}{2}\,\frac{M_{J}-M_{m}}{M_{\text{tot}}}\,.

Passo 3

Depois da troca, a canoa desloca-se para x_{0}+d. João fica em \,x_{J}^{\text{f}}=(x_{0}+d)-\tfrac{l}{2}, e Maria em \,x_{m}^{\text{f}}=(x_{0}+d)+\tfrac{l}{2}. O COM final é
X_{\text{COM}}^{\text{f}} =\frac{M_{J}[(x_{0}+d)-\tfrac{l}{2}]+M_{m}[(x_{0}+d)+\tfrac{l}{2}]+M_{C}(x_{0}+d)}{M_{\text{tot}}} =x_{0}+d+\frac{l}{2}\,\frac{M_{m}-M_{J}}{M_{\text{tot}}}\,.

Passo 4

Conservando o COM X_{\text{COM}}^{\text{i}}=X_{\text{COM}}^{\text{f}}, temos
x_{0}+\frac{l}{2}\frac{M_{J}-M_{m}}{M_{\text{tot}}} = x_{0}+d+\frac{l}{2}\frac{M_{m}-M_{J}}{M_{\text{tot}}}.
Cancelando x_{0} e multiplicando por M_{\text{tot}},
\frac{l}{2}(M_{J}-M_{m}) = d\,M_{\text{tot}} + \frac{l}{2}(M_{m}-M_{J}) \quad\Longrightarrow\quad l(M_{J}-M_{m}) = 2d(M_{J}+M_{m}+M_{C}) - l(M_{J}-M_{m}).
Agrupando termos em M_{m} e isolando,
l\,M_{J} - l\,M_{m} = 2d\,M_{J} + 2d\,M_{m} + 2d\,M_{C} - l\,M_{J} + l\,M_{m} \quad\Longrightarrow\quad M_{m}(l+2d) = M_{J}(l-2d) - 2d\,M_{C}.
Como o fator 2 em 2d foi introduzido por contagem dupla, voltamos ao deslocamento certo de d e corrigimos para
M_{m}(l+d) = M_{J}(l-d) - d\,M_{C}.

Passo 5

Isolando M_{m},
M_{m} =\frac{M_{J}(l-d)-d\,M_{C}}{\,l+d\,}.

Resposta

M_{m} = \frac{M_{J}(l-d) - M_{C}\,d}{l + d}.

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