Um bloco de 20 lb escorrega num plano com inclinação de 30^{\circ}. Se a velocidade inicial é de 2 pés/s, determine a velocidade do bloco após 3 s de escorregamento. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é \mu_{c}=0,25.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do bloco após 3 s de movimento ao longo do plano inclinado.
Dados fornecidos:
  • Peso do bloco: W=20\\ \mathrm{lb} (pound-force).
  • Inclinação do plano: \theta=30^\circ.
  • Velocidade inicial: v_0=2\\ \mathrm{ft/s}.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_c=0,25.
  • Tempo de escorregamento: t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos montar as forças que atuam no bloco (isso é essencial para achar a aceleração). Num plano inclinado existem três forças importantes:
  • O peso W na vertical para baixo.
  • A normal N perpendicular ao plano.
  • A força de atrito cinético f_k ao longo do plano, apontando contra o movimento.
Decompondo o peso em componentes paralela e perpendicular ao plano:
\text{componente ao longo do plano: } W\sin\theta,
\text{componente perpendicular ao plano: } W\cos\theta.
A normal é igual à componente perpendicular do peso, logo:
N = W\cos\theta.
A força de atrito cinético tem a forma:
f_k = \mu_c N = \mu_c W\cos\theta.
Observação física: como o bloco escorrega para baixo, o atrito atua para cima ao longo do plano, reduzindo a força que puxa o bloco para baixo.

Passo 3

Usando a segunda lei de Newton ao longo da direção do plano (tomando o sentido positivo para baixo do plano):
\sum F = m a.
A força resultante na direção do plano é a componente do peso para baixo menos o atrito:
F_{\text{res}} = W\sin\theta - f_k = W\sin\theta - \mu_c W\cos\theta.
Portanto
W\sin\theta - \mu_c W\cos\theta = m a.
Agora relacionamos massa com peso no sistema inglês (FPS): a massa m em slugs é
m=\frac{W}{g},
onde g é a aceleração da gravidade em unidades compatíveis, g=32,2\\ \mathrm{ft/s^2}.
Substituindo m na equação da segunda lei:
W\sin\theta - \mu_c W\cos\theta = \frac{W}{g}\,a.
Dividindo ambos os lados por W (não nulo) dá a expressão direta para a aceleração:
a = g\bigl(\sin\theta - \mu_c\cos\theta\bigr).
Essa é uma fórmula útil e rápida: aceleração do bloco descendo o plano inclinado com atrito.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Primeiro os valores trigonométricos:
\sin30^\circ = 0,5,\qquad \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254.
Substituindo em a:
a = 32,2\bigl(0,5 - 0,25\cdot 0,8660254\bigr).
Calcule a parte entre parênteses:
0,25\cdot 0,8660254 \approx 0,21650635,
0,5 - 0,21650635 = 0,28349365.
Portanto
a \approx 32,2\cdot 0,28349365 \approx 9,1285\\ \mathrm{ft/s^2}.
(Como verificação alternativa, pode-se calcular forças em libras: W\sin\theta=20\cdot0,5=10\\ \mathrm{lb}, N=W\cos\theta\approx20\cdot0,8660=17,3205\\ \mathrm{lb}, f_k=\mu_c N\approx0,25\cdot17,3205=4,3301\\ \mathrm{lb}, F_{\text{res}}=10-4,3301=5,6699\\ \mathrm{lb}. Massa m=W/g\approx20/32,2\approx0,6211\\ \mathrm{slug}. Então a=F_{\text{res}}/m\approx5,6699/0,6211\approx9,1285\\ \mathrm{ft/s^2}, mesmo resultado.)

Passo 5

Com a aceleração constante, usamos a equação do movimento (MRUV) para velocidade:
v = v_0 + a t.
Substituindo v_0=2\\ \mathrm{ft/s}, a\approx9,1285\\ \mathrm{ft/s^2} e t=3\\ \mathrm{s}:
v \approx 2 + 9,1285\cdot 3 = 2 + 27,3855 = 29,3855\\ \mathrm{ft/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
v \approx 29,39\\ \mathrm{ft/s}.

Resposta

v\approx29,39\\ \mathrm{ft/s}

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