Sabendo que o momento positivo é \mathrm{M}=73 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto e de 110 GPa para o aço, determine:
a tensão no aço

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Momento fletor: \mathrm{M}=73\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Módulo de elasticidade do concreto: E_c=25\\ \mathrm{GPa}.
  • Módulo de elasticidade do aço: E_s=110\\ \mathrm{GPa}.
    O que se pede:
  • A tensão no aço (isto é, \sigma_s) causada por esse momento.
Informações relevantes que faltam (necessárias para calcular numericamente \sigma_s):
  • Geometria da seção transversal do elemento de concreto (largura, altura, formas de vazios, etc.).
  • Localização e área(s) da(s) armadura(s) de aço (distância do centroide da armadura ao eixo neutro ou à borda).
  • Se houver mais de uma barra, suas áreas e posições.
    Sem esses dados geométricos não é possível obter um valor numérico para a tensão no aço.

Passo 2

O que normalmente se assume e o método que usaríamos (sem pedir mais dados): assumimos comportamento elástico e compatibilidade de deformações (seções planas permanecem planas). Para uma seção composta concreto+aço e carregada por um momento, o procedimento padrão é usar o método da seção transformada (método do módulo de elasticidade), ou diretamente as relações de curvatura/linhas de esforço elásticas. Vou explicar passo a passo esse método para você aplicar na prova quando tiver as dimensões.

Passo 3

Definição e cálculo do coeficiente modular (razão de módulos):
  • Modular ratio n transforma área de aço em área equivalente de concreto:
n=\frac{E_s}{E_c}.
Com os números dados:
n=\frac{110\\ \mathrm{GPa}}{25\\ \mathrm{GPa}}=\frac{110}{25}=4{,}4.
Significado: uma unidade de área de aço tem a mesma rigidez que 4{,}4 unidades de área de concreto, sob hipóteses elásticas.

Passo 4

Como achar a posição do eixo neutro (centroide da seção transformada)
  • Transformar todas as áreas de aço multiplicando por n: A_{s,\text{eq}}=n A_s.
  • Calcular a posição do eixo neutro (distância medida a partir de uma referência) pela fórmula do centroide:
y_{NA}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i},
onde A_i são as áreas transformadas (para o concreto usa-se A_c sem multiplicar; para o aço usa-se nA_s), e y_i são as coordenadas dos centroides dessas áreas relativamente à mesma referência.
Explicação didática: soma-se o momento estático de cada área em relação à referência e divide-se pela área total transformada.

Passo 5

Como calcular o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo neutro
  • Para cada componente (concreto e cada grupo de aço) calcula-se:
I_{i,\text{trans}} = I_{i,\text{centroide}} + A_{i,\text{trans}} d_i^{2},
onde I_{i,\text{centroide}} é o momento de inércia da área em torno de seu próprio centroide (no caso do aço, se modelado como barras, pode-se usar I pequeno ou considerar só A d^2 se o I da barra for desprezível), A_{i,\text{trans}} é a área (para o aço já transformada: nA_s), e d_i é a distância entre o centroide da peça e o eixo neutro.
  • O momento de inércia total transformado é
I_{\text{trans}}=\sum I_{i,\text{trans}}.

Passo 6

Relação entre momento, curvatura e rigidez da seção transformada
  • A rigidez à flexão da seção transformada (com módulo do concreto) é E_c I_{\text{trans}}.
  • A curvatura \varphi (inverso do raio de curvatura) é dada por:
\varphi=\frac{M}{E_c I_{\text{trans}}}.
Explicação física: para pequenas deformações, o momento fletor dividido pela rigidez dá a curvatura resultante da viga.

Passo 7

Deformação e tensão no aço a partir da curvatura
  • A deformação na fibra da armadura, medida a partir do eixo neutro, é proporcional à distância y_s do eixo neutro:
\varepsilon_s=\varphi\,y_s.
Aqui \varepsilon_s é a deformação (adimensional), \varphi a curvatura e y_s a distância (em metros) do eixo neutro até o centroide da armadura (sinal conforme convenção: positivo para tração ou compressão conforme adotado).
  • A tensão no aço, assumindo comportamento elástico linear, é:
\sigma_s=E_s\,\varepsilon_s=E_s\,\varphi\,y_s.

Passo 8

Combinação das fórmulas para obter a expressão prática
  • Substituindo \varphi da \displaystyle \varphi=\frac{M}{E_c I_{\text{trans}}} obtemos:
\sigma_s = E_s\left(\frac{M}{E_c I_{\text{trans}}}\right) y_s
ou, reescrito,
\sigma_s = \frac{E_s}{E_c}\cdot\frac{M\,y_s}{I_{\text{trans}}} = n\cdot\frac{M\,y_s}{I_{\text{trans}}}.
Explicação das variáveis:
  • \sigma_s: tensão no aço (em \mathrm{Pa} ou \mathrm{MPa}).
  • E_s, E_c: módulos de elasticidade do aço e concreto (em \mathrm{Pa}).
  • M: momento fletor (em \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} — atenção para converter \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}\rightarrow\mathrm{N}\cdot\mathrm{m} multiplicando por 10^3).
  • y_s: distância do eixo neutro até o centroide da armadura (em \mathrm{m}).
  • I_{\text{trans}}: momento de inércia da seção transformada (em \mathrm{m}^4).
  • n: razão modular E_s/E_c (adimensional).
Unidades: para obter \sigma_s em \mathrm{Pa} use M em \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}, y_s em \mathrm{m}, I_{\text{trans}} em \mathrm{m}^4 e E em \mathrm{Pa}.

Passo 9

Resumo do procedimento que você deverá aplicar na prova (passo a passo prático)
  1. Converter M para \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}: M=73\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=73\times10^{3}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
  2. Calcular n=E_s/E_c=4{,}4.
  3. Transformar as áreas de aço: A_{s,\text{eq}}=nA_s.
  4. Calcular a posição do eixo neutro y_{NA} da seção transformada.
  5. Calcular I_{\text{trans}} somando os I em relação ao eixo neutro (teorema dos eixos paralelos).
  6. Calcular \varphi=M/(E_c I_{\text{trans}}).
  7. Calcular \varepsilon_s=\varphi y_s, com y_s a distância do eixo neutro até o centroide do aço.
  8. Finalmente \sigma_s=E_s\varepsilon_s.
    Se quiser um atalho direto, use a fórmula final
\sigma_s=\frac{E_s}{E_c}\cdot\frac{M\,y_s}{I_{\text{trans}}}.
Mas atenção: é imprescindível conhecer y_s, I_{\text{trans}} e as áreas.

Passo 10

Conclusão prática sobre o enunciado dado: com apenas M, E_c e E_s não há informação suficiente para calcular numericamente \sigma_s. O valor depende da geometria da seção e da posição/área das armaduras.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão no aço com os dados fornecidos: faltam as dimensões da seção transversal e a posição/área da(s) armadura(s).

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