Sabendo que o momento positivo é
o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto e de 110 GPa para o aço, determine:
a tensão no aço
a tensão no aço
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados:
- Momento fletor:
. - Módulo de elasticidade do concreto:
. - Módulo de elasticidade do aço:
.
O que se pede: - A tensão no aço (isto é,
) causada por esse momento.
Informações relevantes que faltam (necessárias para calcular numericamente
):
- Geometria da seção transversal do elemento de concreto (largura, altura, formas de vazios, etc.).
- Localização e área(s) da(s) armadura(s) de aço (distância do centroide da armadura ao eixo neutro ou à borda).
- Se houver mais de uma barra, suas áreas e posições.
Sem esses dados geométricos não é possível obter um valor numérico para a tensão no aço.
Passo 2
O que normalmente se assume e o método que usaríamos (sem pedir mais dados): assumimos comportamento elástico e compatibilidade de deformações (seções planas permanecem planas). Para uma seção composta concreto+aço e carregada por um momento, o procedimento padrão é usar o método da seção transformada (método do módulo de elasticidade), ou diretamente as relações de curvatura/linhas de esforço elásticas. Vou explicar passo a passo esse método para você aplicar na prova quando tiver as dimensões.
Passo 3
Definição e cálculo do coeficiente modular (razão de módulos):
- Modular ratio
transforma área de aço em área equivalente de concreto:
Com os números dados:
Significado: uma unidade de área de aço tem a mesma rigidez que
unidades de área de concreto, sob hipóteses elásticas.
Passo 4
Como achar a posição do eixo neutro (centroide da seção transformada)
- Transformar todas as áreas de aço multiplicando por
: . - Calcular a posição do eixo neutro (distância medida a partir de uma referência) pela fórmula do centroide:
onde
são as áreas transformadas (para o concreto usa-se
sem multiplicar; para o aço usa-se
), e
são as coordenadas dos centroides dessas áreas relativamente à mesma referência.
Explicação didática: soma-se o momento estático de cada área em relação à referência e divide-se pela área total transformada.
Explicação didática: soma-se o momento estático de cada área em relação à referência e divide-se pela área total transformada.
Passo 5
Como calcular o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo neutro
- Para cada componente (concreto e cada grupo de aço) calcula-se:
onde
é o momento de inércia da área em torno de seu próprio centroide (no caso do aço, se modelado como barras, pode-se usar
pequeno ou considerar só
se o
da barra for desprezível),
é a área (para o aço já transformada:
), e
é a distância entre o centroide da peça e o eixo neutro.
- O momento de inércia total transformado é
Passo 6
Relação entre momento, curvatura e rigidez da seção transformada
- A rigidez à flexão da seção transformada (com módulo do concreto) é
. - A curvatura
(inverso do raio de curvatura) é dada por:
Explicação física: para pequenas deformações, o momento fletor dividido pela rigidez dá a curvatura resultante da viga.
Passo 7
Deformação e tensão no aço a partir da curvatura
- A deformação na fibra da armadura, medida a partir do eixo neutro, é proporcional à distância
do eixo neutro:
Aqui
é a deformação (adimensional),
a curvatura e
a distância (em metros) do eixo neutro até o centroide da armadura (sinal conforme convenção: positivo para tração ou compressão conforme adotado).
- A tensão no aço, assumindo comportamento elástico linear, é:
Passo 8
Combinação das fórmulas para obter a expressão prática
- Substituindo
da obtemos:
ou, reescrito,
Explicação das variáveis:
-
: tensão no aço (em ou ). -
: módulos de elasticidade do aço e concreto (em ). -
: momento fletor (em — atenção para converter multiplicando por ). -
: distância do eixo neutro até o centroide da armadura (em ). -
: momento de inércia da seção transformada (em ). -
: razão modular (adimensional).
Unidades: para obter
em
use
em
,
em
,
em
e
em
.
Passo 9
Resumo do procedimento que você deverá aplicar na prova (passo a passo prático)
- Converter
para : . - Calcular
. - Transformar as áreas de aço:
. - Calcular a posição do eixo neutro
da seção transformada. - Calcular
somando os em relação ao eixo neutro (teorema dos eixos paralelos). - Calcular
. - Calcular
, com a distância do eixo neutro até o centroide do aço. - Finalmente
.
Se quiser um atalho direto, use a fórmula final
Mas atenção: é imprescindível conhecer
,
e as áreas.
Passo 10
Conclusão prática sobre o enunciado dado: com apenas
,
e
não há informação suficiente para calcular numericamente
. O valor depende da geometria da seção e da posição/área das armaduras.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão no aço com os dados fornecidos: faltam as dimensões da seção transversal e a posição/área da(s) armadura(s).