Um rolamento de esferas radiais, tem uma expectativa de vida de
horas. Qual deve ser a variação no carregamento de um rolamento para que esse rolamento tenha o triplo de sua vida.
Passo 1
Vou traduzir claramente o que o enunciado pede e o que foi dado.
- Dado: um rolamento de esferas radiais tem uma expectativa de vida de
horas sob um certo carregamento . - Pedido: quanto devemos alterar esse carregamento (ou seja, qual deve ser o novo carregamento
, ou qual a variação percentual) para que a vida do rolamento passe a ser o triplo, isto é horas?
Essas são as informações relevantes que vou usar: vida inicial
, vida desejada
, carregamento inicial
e carregamento final desconhecido
.
Passo 2
Apresentando a fórmula que liga vida do rolamento e carregamento (essa é a lei clássica usada em projetos de rolamentos).
Para rolamentos de elementos rolantes existe a relação empírica (norma ISO e literatura de tribologia):
ou, escrevendo com uma constante:
onde:
-
é a vida do rolamento (horas, por exemplo), -
é o carregamento equivalente sobre o rolamento (força efetiva), -
é uma constante que depende de outros fatores (material, geometria, etc.), -
é o expoente característico: para rolamentos de esferas radiais (isso é padrão para esferas; para rolamentos de rolos , mas aqui usamos porque o enunciado fala em rolamento de esferas).
Explicando com calma: a fórmula diz que a vida decresce como uma potência negativa do carregamento — se o carregamento sobe, a vida cai fortemente; se abaixamos o carregamento, a vida aumenta.
Passo 3
Escrevo a relação para as duas situações (inicial e desejada) e elimino a constante
.
Situação inicial:
Situação final (queremos
):
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Passo 4
Agora uso a condição desejada
. Substituo na igualdade do passo anterior:
Isolo
. Elevando ambos os lados à potência
ou reescrevendo:
Isto é a expressão geral: para triplicar a vida, reduzir o carregamento por um fator
.
Passo 5
Aplicando ao caso de rolamento de esferas, onde
.
Substituo
na fórmula:
Agora faço a aproximação numérica da raiz cúbica de
. Uma boa aproximação é
(pois
está bem próximo de
). Então
Passo 6
Interpretação prática (como entregar na prova):
- O novo carregamento
deve ser aproximadamente vezes o carregamento original . - Em termos percentuais a variação é uma redução de
ou seja, reduzir a carga em cerca de
(aproximadamente
) para que a vida passe a ser o triplo.