Um rolamento de esferas radiais, tem uma expectativa de vida de \mathbf{Z} horas. Qual deve ser a variação no carregamento de um rolamento para que esse rolamento tenha o triplo de sua vida.

Passo 1

Vou traduzir claramente o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Dado: um rolamento de esferas radiais tem uma expectativa de vida de Z horas sob um certo carregamento P_1.
  • Pedido: quanto devemos alterar esse carregamento (ou seja, qual deve ser o novo carregamento P_2, ou qual a variação percentual) para que a vida do rolamento passe a ser o triplo, isto é 3Z horas?
Essas são as informações relevantes que vou usar: vida inicial Z, vida desejada 3Z, carregamento inicial P_1 e carregamento final desconhecido P_2.

Passo 2

Apresentando a fórmula que liga vida do rolamento e carregamento (essa é a lei clássica usada em projetos de rolamentos).
Para rolamentos de elementos rolantes existe a relação empírica (norma ISO e literatura de tribologia):
L \propto P^{-p},
ou, escrevendo com uma constante:
L = k\,P^{-p},
onde:
  • L é a vida do rolamento (horas, por exemplo),
  • P é o carregamento equivalente sobre o rolamento (força efetiva),
  • k é uma constante que depende de outros fatores (material, geometria, etc.),
  • p é o expoente característico: para rolamentos de esferas radiais p=3 (isso é padrão para esferas; para rolamentos de rolos p=10/3, mas aqui usamos p=3 porque o enunciado fala em rolamento de esferas).
Explicando com calma: a fórmula diz que a vida decresce como uma potência negativa do carregamento — se o carregamento sobe, a vida cai fortemente; se abaixamos o carregamento, a vida aumenta.

Passo 3

Escrevo a relação para as duas situações (inicial e desejada) e elimino a constante k.
Situação inicial:
L_1 = k\,P_1^{-p}.
Situação final (queremos L_2 = 3L_1):
L_2 = k\,P_2^{-p}.
Dividindo as duas equações para eliminar k:
\frac{L_2}{L_1}=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{p}.

Passo 4

Agora uso a condição desejada L_2 = 3L_1. Substituo na igualdade do passo anterior:
3=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{p}.
Isolo P_2. Elevando ambos os lados à potência 1/p ou reescrevendo:
\frac{P_1}{P_2}=3^{1/p} \quad\Rightarrow\quad P_2=\frac{P_1}{3^{1/p}}.
Isto é a expressão geral: para triplicar a vida, reduzir o carregamento por um fator 3^{1/p}.

Passo 5

Aplicando ao caso de rolamento de esferas, onde p=3.
Substituo p=3 na fórmula:
P_2=\frac{P_1}{3^{1/3}}.
Agora faço a aproximação numérica da raiz cúbica de 3. Uma boa aproximação é 3^{1/3}\approx1{,}44225 (pois 1{,}44^3\approx2{,}986 está bem próximo de 3). Então
P_2\approx\frac{P_1}{1{,}44225}\approx0{,}6934\,P_1.

Passo 6

Interpretação prática (como entregar na prova):
  • O novo carregamento P_2 deve ser aproximadamente 0{,}6934 vezes o carregamento original P_1.
  • Em termos percentuais a variação é uma redução de
\frac{P_2-P_1}{P_1}= \frac{1}{3^{1/3}}-1\approx -0{,}3066,
ou seja, reduzir a carga em cerca de 30{,}66\% (aproximadamente 30{,}7\%) para que a vida passe a ser o triplo.

Resposta

P_2=\frac{P_1}{3^{1/3}}\approx0{,}6934\,P_1\quad\text{(reduzir a carga em cerca de }30{,}66\%\text{).}

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