Sabendo que o momento positivo é
o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto e de 110 GPa para o aço, determine:
a tensão máxima no concreto.
a tensão máxima no concreto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O momento fletor é
. - Módulo de elasticidade do concreto:
. - Módulo de elasticidade do aço:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão máxima no concreto.
Observação importante: o enunciado NÃO fornece a geometria da seção transversal (largura, altura, distância da fibra extrema ao eixo neutro) nem as áreas e posições das armaduras de aço. Esses dados são essenciais para calcular numericamente a tensão máxima. A resolução numérica só é possível se a seção e a posição/área da(s) armadura(s) forem fornecidas.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
- Deformação e tensão linear no domínio elástico (hipótese de Bernoulli): quando uma viga trabalha à flexão e permanece no regime elástico linear, as fibras da seção têm deformação que varia linearmente com a distância
ao eixo neutro:
onde
é a curvatura da viga (taxa de mudança da rotação ao longo do comprimento) e
é a coordenada vertical medida a partir do eixo neutro. Posso pensar em
como “quanto a seção está curvando”.
- Lei de Hooke local (comportamento linear elástico):
Aqui
é o módulo de elasticidade do material local (no concreto
, no aço
). Assim a tensão em cada fibra vale
- Equilíbrio do momento interno: o momento externo
é equilibrado pelas tensões distribuídas na seção:
Se separarmos concreto e aço:
onde
é o momento de inércia geométrico do concreto em relação ao eixo neutro e
é o momento de inércia das áreas de aço (todas relativas ao mesmo eixo neutro).
- Curvatura em função do momento:
- Tensão no concreto a uma distância
do eixo neutro (usando ):
Note: escrevemos o denominador em forma que aparece com
fatorado; isso motiva a chamada “seção transformada” (ver passo seguinte).
Passo 3
Modular ratio (razão modular) — é uma peça-chave para trabalhar com seções mistas concreto-aço.
Definição:
Com os valores dados:
Interpretação: uma área de aço
se comporta, em termos de rigidez, como
de concreto (quando fazemos a transformação para um único material de referência).
Passo 4
Método prático (seção transformada) — passo a passo do procedimento que você deve aplicar na prova quando tiver a geometria:
- Transformar as áreas de aço em áreas equivalentes de concreto multiplicando por
:
- Encontrar a posição do eixo neutro (de referência) para a seção transformada. Escolha um eixo de referência (por exemplo a base da seção) e calcule a coordenada do centróide da área transformada:
onde cada
é a área (concreto com
, aço com
) e
é a distância do eixo de referência ao centróide de cada área. Esse
é a posição do eixo neutro na seção transformada.
- Calcular o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo neutro:
ou, de forma genérica,
onde
é o momento de inércia do concreto (da porção considerada) em relação ao eixo neutro encontrado,
é o momento de inércia geométrico da área de aço em torno do eixo que passa pelo seu próprio centróide, e
é a distância entre o centróide da área de aço e o eixo neutro (aplicação do teorema dos eixos paralelos). Se as barras forem tratadas como áreas concentradas, o termo
é frequentemente desprezível e só entra o termo
.
- Calcular a curvatura:
Observação: aqui
já é a inércia transformada para o concreto (portanto o
aparece explicitamente).
- Calcular a tensão máxima no concreto (na fibra mais distante do eixo neutro, isto é para
):
Importante: a expressão final simples
surge porque
cancela quando se usa a inércia transformada (veja a dedução no passo 2). Aqui
é a distância do eixo neutro até a fibra extrema do concreto onde a tensão é máxima.
Passo 5
O que falta para obter um valor numérico e como você pratica isso na prova:
-
Dados que faltam e que são obrigatórios:
- Geometria da seção (por exemplo: largura
, altura , forma da seção — retangular, I, T, etc.); - Localização e área(s) das barras de aço (
) e suas distâncias ao topo/à base ou ao eixo neutro inicial; - Em alguns problemas, também se indica se se admite que a fissuração ocorreu (mudaria a rigidez efetiva do concreto), mas aqui assumimos secção íntegra e comportamento elástico linear.
- Geometria da seção (por exemplo: largura
-
Procedimento prático na prova (resumo passo a passo que você aplica assim que receber a geometria):
- Calcular
. - Transformar as áreas de aço:
. - Calcular o centróide da seção transformada e achar o eixo neutro (
). - Calcular
(somando inércias do concreto e das áreas transformadas de aço com teorema dos eixos paralelos). - Calcular
, com medido do eixo neutro até a fibra extrema de concreto. - Verificar unidades (transformar
para N·mm se as dimensões estão em mm, etc.) para consistência.
- Calcular
Passo 6
Exemplo ilustrativo (numérico simplificado, só para entender a mecânica — NÃO é baseado nos dados do seu enunciado, porque esses dados não foram fornecidos):
Suponha uma viga retangular com
,
, e uma armadura com
posicionada a
da face inferior. Procederia assim:
- Converter
para N·mm: . - Calcular
. - Transformar áreas de aço
. - Calcular
(eixo neutro) pela média ponderada das áreas transformadas. - Calcular
(momento de inércia do retângulo em relação ao NA + termos ). - Finalmente
.
Esse procedimento dá um número final para. Se quiser, me envie as dimensões e posições (como no exemplo que acabei de dar) e eu faço o cálculo passo a passo para esse caso.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão máxima no concreto com os dados fornecidos: faltam as dimensões da seção transversal e a(s) área(s) e posição(ões) da(s) armadura(s).