Sabendo que o momento positivo é \mathrm{M}=73 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} o módulo de elasticidade é de 25 GPa para o concreto e de 110 GPa para o aço, determine:
a tensão máxima no concreto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O momento fletor é M = 73\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Módulo de elasticidade do concreto: E_c = 25\\ \mathrm{GPa}.
  • Módulo de elasticidade do aço: E_s = 110\\ \mathrm{GPa}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão máxima no concreto.
Observação importante: o enunciado NÃO fornece a geometria da seção transversal (largura, altura, distância da fibra extrema ao eixo neutro) nem as áreas e posições das armaduras de aço. Esses dados são essenciais para calcular numericamente a tensão máxima. A resolução numérica só é possível se a seção e a posição/área da(s) armadura(s) forem fornecidas.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  1. Deformação e tensão linear no domínio elástico (hipótese de Bernoulli): quando uma viga trabalha à flexão e permanece no regime elástico linear, as fibras da seção têm deformação que varia linearmente com a distância y ao eixo neutro:
\varepsilon(y)=\kappa\,y,
onde \kappa é a curvatura da viga (taxa de mudança da rotação ao longo do comprimento) e y é a coordenada vertical medida a partir do eixo neutro. Posso pensar em \kappa como “quanto a seção está curvando”.
  1. Lei de Hooke local (comportamento linear elástico):
\sigma(y)=E(y)\,\varepsilon(y).
Aqui E(y) é o módulo de elasticidade do material local (no concreto E_c, no aço E_s). Assim a tensão em cada fibra vale
\sigma(y)=E(y)\,\kappa\,y.
  1. Equilíbrio do momento interno: o momento externo M é equilibrado pelas tensões distribuídas na seção:
M=\int_{A}\sigma(y)\,y\,\mathrm{d}A = \kappa\int_{A} E(y)\,y^{2}\,\mathrm{d}A.
Se separarmos concreto e aço:
M=\kappa\left(E_c I_c + E_s I_s\right),
onde I_c é o momento de inércia geométrico do concreto em relação ao eixo neutro e I_s é o momento de inércia das áreas de aço (todas relativas ao mesmo eixo neutro).
  1. Curvatura em função do momento:
\kappa=\frac{M}{E_c I_c + E_s I_s}.
  1. Tensão no concreto a uma distância y do eixo neutro (usando \sigma=E_c\kappa y):
\sigma_c(y)=E_c\,\kappa\,y=\frac{M}{I_c + (E_s/E_c)I_s}\;y.
Note: escrevemos o denominador em forma que aparece com E_c fatorado; isso motiva a chamada “seção transformada” (ver passo seguinte).

Passo 3

Modular ratio (razão modular) — é uma peça-chave para trabalhar com seções mistas concreto-aço.
Definição:
n=\frac{E_s}{E_c}.
Com os valores dados:
n=\frac{110\\ \mathrm{GPa}}{25\\ \mathrm{GPa}}=\frac{110}{25}=4,4.
Interpretação: uma área de aço A_s se comporta, em termos de rigidez, como n\cdot A_s de concreto (quando fazemos a transformação para um único material de referência).

Passo 4

Método prático (seção transformada) — passo a passo do procedimento que você deve aplicar na prova quando tiver a geometria:
  1. Transformar as áreas de aço em áreas equivalentes de concreto multiplicando por n:
A_s' = n\,A_s.
  1. Encontrar a posição do eixo neutro (de referência) para a seção transformada. Escolha um eixo de referência (por exemplo a base da seção) e calcule a coordenada do centróide da área transformada:
\bar{y}=\frac{\sum A_i' y_i}{\sum A_i'},
onde cada A_i' é a área (concreto com A_c'=A_c, aço com A_s'=nA_s) e y_i é a distância do eixo de referência ao centróide de cada área. Esse \bar{y} é a posição do eixo neutro na seção transformada.
  1. Calcular o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo neutro:
I_{tr} = I_c + \sum \left( n I_{s,\text{local}} + n A_s d^2 \right),
ou, de forma genérica,
I_{tr}=I_{c,\text{geom}}+\sum \bigl(n I_{s,\text{geom}} + n A_s d^2\bigr),
onde I_{c,\text{geom}} é o momento de inércia do concreto (da porção considerada) em relação ao eixo neutro encontrado, I_{s,\text{geom}} é o momento de inércia geométrico da área de aço em torno do eixo que passa pelo seu próprio centróide, e d é a distância entre o centróide da área de aço e o eixo neutro (aplicação do teorema dos eixos paralelos). Se as barras forem tratadas como áreas concentradas, o termo I_{s,\text{geom}} é frequentemente desprezível e só entra o termo nA_s d^2.
  1. Calcular a curvatura:
\kappa=\frac{M}{E_c\,I_{tr}}.
Observação: aqui I_{tr} já é a inércia transformada para o concreto (portanto o E_c aparece explicitamente).
  1. Calcular a tensão máxima no concreto (na fibra mais distante do eixo neutro, isto é para y=y_{\max}):
\sigma_{c,\max}=E_c\,\kappa\,y_{\max}=\frac{M}{I_{tr}}\,y_{\max}.
Importante: a expressão final simples \sigma_{c,\max}=\dfrac{M\,y_{\max}}{I_{tr}} surge porque E_c cancela quando se usa a inércia transformada (veja a dedução no passo 2). Aqui y_{\max} é a distância do eixo neutro até a fibra extrema do concreto onde a tensão é máxima.

Passo 5

O que falta para obter um valor numérico e como você pratica isso na prova:
  • Dados que faltam e que são obrigatórios:
    • Geometria da seção (por exemplo: largura b, altura h, forma da seção — retangular, I, T, etc.);
    • Localização e área(s) das barras de aço ( A_s) e suas distâncias d ao topo/à base ou ao eixo neutro inicial;
    • Em alguns problemas, também se indica se se admite que a fissuração ocorreu (mudaria a rigidez efetiva do concreto), mas aqui assumimos secção íntegra e comportamento elástico linear.
  • Procedimento prático na prova (resumo passo a passo que você aplica assim que receber a geometria):
    1. Calcular n=E_s/E_c.
    2. Transformar as áreas de aço: A_s' = n A_s.
    3. Calcular o centróide da seção transformada e achar o eixo neutro ( \bar y).
    4. Calcular I_{tr} (somando inércias do concreto e das áreas transformadas de aço com teorema dos eixos paralelos).
    5. Calcular \sigma_{c,\max} = \dfrac{M\,y_{\max}}{I_{tr}}, com y_{\max} medido do eixo neutro até a fibra extrema de concreto.
    6. Verificar unidades (transformar M para N·mm se as dimensões estão em mm, etc.) para consistência.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (numérico simplificado, só para entender a mecânica — NÃO é baseado nos dados do seu enunciado, porque esses dados não foram fornecidos):
Suponha uma viga retangular com b=300\\ \mathrm{mm}, h=500\\ \mathrm{mm}, e uma armadura com A_s=2\times 314\\ \mathrm{mm}^2 posicionada a d=50\\ \mathrm{mm} da face inferior. Procederia assim:
  • Converter M para N·mm: M=73\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=73\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  • Calcular n=4,4.
  • Transformar áreas de aço A_s' = n A_s.
  • Calcular \bar y (eixo neutro) pela média ponderada das áreas transformadas.
  • Calcular I_{tr} (momento de inércia do retângulo em relação ao NA + termos nA_s d^2).
  • Finalmente \sigma_{c,\max} = \dfrac{M\,y_{\max}}{I_{tr}}.
    Esse procedimento dá um número final para \sigma_{c,\max}. Se quiser, me envie as dimensões e posições (como no exemplo que acabei de dar) e eu faço o cálculo passo a passo para esse caso.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão máxima no concreto com os dados fornecidos: faltam as dimensões da seção transversal e a(s) área(s) e posição(ões) da(s) armadura(s).

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