Um bloco de 32 kg repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito quando passa a sofrer uma força F variável,
. Determinar a velocidade máxima alcançada pelo bloco e o momento em que inverte o sentido do movimento.
R:
e
R:
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e do que se pede):
- Massa do bloco:
. - Força variável aplicada ao bloco (direção horizontal):
, onde está em segundos. - A superfície é horizontal e sem atrito.
- Condição inicial: o bloco repousa em
(logo ). - O que pedem:
- Determinar a velocidade máxima alcançada pelo bloco.
- Determinar o instante em que o bloco inverte o sentido do movimento (isto é, quando
volta a ser zero para ).
Passo 2
Conceito e equação básica que vamos usar (explicação didática):
- A segunda lei de Newton relaciona força resultante e aceleração:
Aqui não há outras forças horizontais (sem atrito), então a força resultante é exatamente
. Isso significa que a aceleração do bloco em cada instante é a força dividida pela massa:
- Relação entre aceleração e velocidade: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
Portanto podemos obter a velocidade integrando a aceleração:
Explicando as variáveis:
é a aceleração em função do tempo,
a velocidade em função do tempo,
a massa (constante),
a força conhecida.
Passo 3
Calcular a aceleração
a partir de
:
Podemos simplificar escrevendo
Mas para integrar é mais prático manter a forma polinomial.
Passo 4
Obter
integrando
com a condição inicial
. Usando
Fazendo a integral passo a passo:
Portanto
Podemos também fatorar:
Passo 5
Encontrar a velocidade máxima. Ideia: a velocidade atinge máximo quando sua derivada se anula e muda de sinal (ou seja, quando a aceleração passa de positiva para negativa). Como
, basta resolver
para achar candidatos a extremos:
Fatorando:
-
é o instante inicial (velocidade mínima/zero), o outro ponto é o candidato a máximo. Para confirmar que é máximo observamos o sinal de : para a aceleração é positiva (velocidade cresce) e para a aceleração é negativa (velocidade diminui). Logo em ocorre um máximo de .
Calcular
:
Passo 6
Determinar o instante em que o bloco inverte o sentido do movimento. Inversão de sentido ocorre quando a velocidade passa por zero (após ter sido positiva). Então resolvemos
para
:
As soluções são
(início) e
.
A solução relevante para inversão (após o movimento começar) é . Isso tem coerência física: o bloco acelera até
(velocidade máxima
), depois desacelera por ação da força que se torna negativa, e em
a velocidade zera e o bloco inverte o sentido.
A solução relevante para inversão (após o movimento começar) é
Passo 7
Resumo físico e checagens rápidas (para você usar na prova):
- Aceleração nula em
indica ponto de máximo de velocidade porque antes dela e depois . - A velocidade máxima é
em . - A velocidade volta a ser zero em
, que é o instante de inversão do movimento. - Observação prática: sempre verifique sinais e intervalos de tempo para garantir que uma raiz de
corresponde a máximo (mudança de sinal de ).