Um bloco de 32 kg repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito quando passa a sofrer uma força F variável, F=6 t-1,5 t^{2}(N). Determinar a velocidade máxima alcançada pelo bloco e o momento em que inverte o sentido do movimento.
R: v=0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e t=6 s

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e do que se pede):
  • Massa do bloco: m=32\\ \mathrm{kg}.
  • Força variável aplicada ao bloco (direção horizontal): F(t)=6\,t-1{,}5\,t^{2}\\ \mathrm{N}, onde t está em segundos.
  • A superfície é horizontal e sem atrito.
  • Condição inicial: o bloco repousa em t=0 (logo v(0)=0).
  • O que pedem:
    1. Determinar a velocidade máxima alcançada pelo bloco.
    2. Determinar o instante em que o bloco inverte o sentido do movimento (isto é, quando v(t) volta a ser zero para t>0).

Passo 2

Conceito e equação básica que vamos usar (explicação didática):
  • A segunda lei de Newton relaciona força resultante e aceleração:
F_{\text{resultante}}(t)=m\,a(t).
Aqui não há outras forças horizontais (sem atrito), então a força resultante é exatamente F(t). Isso significa que a aceleração do bloco em cada instante é a força dividida pela massa:
a(t)=\dfrac{F(t)}{m}.
  • Relação entre aceleração e velocidade: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
a(t)=\dfrac{dv}{dt}.
Portanto podemos obter a velocidade integrando a aceleração:
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(\tau)\,d\tau.
Explicando as variáveis: a(t) é a aceleração em função do tempo, v(t) a velocidade em função do tempo, m a massa (constante), F(t) a força conhecida.

Passo 3

Calcular a aceleração a(t) a partir de F(t):
a(t)=\dfrac{F(t)}{m}=\dfrac{6\,t-1{,}5\,t^{2}}{32}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Podemos simplificar escrevendo
a(t)=\dfrac{6\,t}{32}-\dfrac{1{,}5\,t^{2}}{32}=\dfrac{6}{32}\,t-\dfrac{1{,}5}{32}\,t^{2}.
Mas para integrar é mais prático manter a forma polinomial.

Passo 4

Obter v(t) integrando a(t) com a condição inicial v(0)=0. Usando
v(t)=\int_{0}^{t} a(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}\dfrac{6\,\tau-1{,}5\,\tau^{2}}{32}\,d\tau.
Fazendo a integral passo a passo:
\int_{0}^{t}(6\,\tau)\,d\tau=3\,t^{2}, \qquad \int_{0}^{t}(1{,}5\,\tau^{2})\,d\tau=0{,}5\,t^{3}.
Portanto
v(t)=\dfrac{1}{32}\bigl(3\,t^{2}-0{,}5\,t^{3}\bigr).
Podemos também fatorar:
v(t)=\dfrac{t^{2}}{32}\bigl(3-0{,}5\,t\bigr).

Passo 5

Encontrar a velocidade máxima. Ideia: a velocidade atinge máximo quando sua derivada se anula e muda de sinal (ou seja, quando a aceleração passa de positiva para negativa). Como \dfrac{dv}{dt}=a(t), basta resolver a(t)=0 para achar candidatos a extremos:
a(t)=\dfrac{6\,t-1{,}5\,t^{2}}{32}=0 \quad\Longrightarrow\quad 6\,t-1{,}5\,t^{2}=0.
Fatorando:
t(6-1{,}5\,t)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0 \\ \text{ou}\\ t=\dfrac{6}{1{,}5}=4\\ \mathrm{s}.
  • t=0 é o instante inicial (velocidade mínima/zero), o outro ponto t=4\\ \mathrm{s} é o candidato a máximo. Para confirmar que é máximo observamos o sinal de a(t): para 0<t<4 a aceleração é positiva (velocidade cresce) e para t>4 a aceleração é negativa (velocidade diminui). Logo em t=4\\ \mathrm{s} ocorre um máximo de v(t).
Calcular v(4):
v(4)=\dfrac{1}{32}\bigl(3\cdot 4^{2}-0{,}5\cdot 4^{3}\bigr) =\dfrac{1}{32}\bigl(3\cdot 16-0{,}5\cdot 64\bigr) =\dfrac{1}{32}\bigl(48-32\bigr) =\dfrac{16}{32}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Determinar o instante em que o bloco inverte o sentido do movimento. Inversão de sentido ocorre quando a velocidade passa por zero (após ter sido positiva). Então resolvemos v(t)=0 para t>0:
v(t)=\dfrac{1}{32}\bigl(3\,t^{2}-0{,}5\,t^{3}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}(3-0{,}5\,t)=0.
As soluções são t=0 (início) e 3-0{,}5\,t=0\Rightarrow t=\dfrac{3}{0{,}5}=6\\ \mathrm{s}.
A solução relevante para inversão (após o movimento começar) é t=6\\ \mathrm{s}. Isso tem coerência física: o bloco acelera até t=4\\ \mathrm{s} (velocidade máxima 0{,}5\\ \mathrm{m/s}), depois desacelera por ação da força que se torna negativa, e em t=6\\ \mathrm{s} a velocidade zera e o bloco inverte o sentido.

Passo 7

Resumo físico e checagens rápidas (para você usar na prova):
  • Aceleração nula em t=4\\ \mathrm{s} indica ponto de máximo de velocidade porque antes dela a(t)>0 e depois a(t)<0.
  • A velocidade máxima é v_{\max}=0{,}5\\ \mathrm{m/s} em t=4\\ \mathrm{s}.
  • A velocidade volta a ser zero em t=6\\ \mathrm{s}, que é o instante de inversão do movimento.
  • Observação prática: sempre verifique sinais e intervalos de tempo para garantir que uma raiz de a(t)=0 corresponde a máximo (mudança de sinal de a).

Resposta

v_{\max}=0{,}5\\ \mathrm{m/s} (ocorre em t=4\\ \mathrm{s})
t_{\text{inversão}}=6\\ \mathrm{s}ã

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