(2,0 pts)Uma esfera oca, coeficiente de condutividade
com raio interno
e raio externo
é aquecido na superficie interna a uma taxa
e dissipa convectivamente calor pela superficie externa para um fluido à temperatura
, com um coeficiente de transferência de calor
. Calcule as temperaturas nas superficies interna e externa da esfera nas seguintes condiçòes:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados (pegos do enunciado):
- raio interno:
. - raio externo:
. - condutividade térmica:
. - fluxo uniformemente aplicado na superfície interna:
. - coeficiente de convecção na superfície externa:
. - temperatura do fluido externo (temperatura à qual a superfície externa perde calor):
.
- raio interno:
-
O que o enunciado pede:
- calcular a temperatura na superfície interna (em
), denotada ; - calcular a temperatura na superfície externa (em
), denotada .
- calcular a temperatura na superfície interna (em
Passo 2
Entendimento físico e método (passo-a-passo conceitual, sem fórmulas finais ainda).
- Estamos em estado estacionário: a taxa de calor que atravessa qualquer superfície esférica concêntrica é a mesma (não há acúmulo de energia).
- A condição dada na superfície interna é um fluxo de calor
(em ). A potência total que sai pela superfície interna é o fluxo vezes a área interna. - Essa potência viaja radialmente pela parede esférica por condução e depois é rejeitada por convecção na superfície externa. Logo há duas “quedas de temperatura” em série:
- queda pela condução na casca esférica entre
e ; - queda por convecção entre a superfície externa
e o fluido com temperatura .
- queda pela condução na casca esférica entre
- Podemos usar a igualdade da potência (fluxo total) e expressar as quedas de temperatura com resistências térmicas equivalentes. Alternativamente, derivar da lei de Fourier no regime radial esférico. Vou mostrar rapidamente a ideia da lei de Fourier e depois usar a forma de resistências (é mais direta na prática).
Passo 3
Breve derivação (essencial) da relação condução radial em casca esférica e da expressão útil.
-
Lei de Fourier para fluxo radial em coordenadas esféricas (velocidade escalar do fluxo radial):onde
é a área da esfera de raio . -
Em regime estacionário, a potência total radial
é constante com , e . Assim: -
Reorganizando,Integrando em
entre e (ou integrando a equação geral), obtém-se a forma da diferença de temperatura entre as superfícies: Esta é a queda de temperatura por condução na casca esférica. -
Para a convecção na superfície externa:que reescreve a diferença
em função de : -
A potência
pode ser obtida diretamente do fluxo aplicado na superfície interna: -
Com essas três expressões temos tudo: primeiro calcular
, depois por convecção e então somando a queda de condução.
Passo 4
Calcular a potência total
a partir do fluxo interno
.
- Área da superfície interna:
- Potência total:
Calculando numericamente: (Arredondaremos os resultados finais com sentido prático; aqui mantenho boa precisão intermediária.)
Passo 5
Calcular a queda de temperatura por convecção e a temperatura externa
.
- Usando
. - Calcular
: - Então
- Numérico:
- Portanto
Passo 6
Calcular a queda de temperatura por condução e a temperatura interna
.
- A diferença de temperatura pela condução entre as superfícies é
- Calcule
: - Calcule o fator
: - Logo
- Avaliando numericamente:
- Então
Passo 7
Verificação rápida (consistência energética).
- Soma das quedas:
. - Produto
vezes resistência total dá a mesma queda total . Portanto está consistente. - Resultado faz sentido físico: a superfície interna é mais quente que a externa, e a diferença total entre a superfície interna e o fluido é igual a
vezes as resistências combinadas.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo.
- Resumindo: a casca esférica conduz uma potência de cerca de
. A maior parte da queda foi dividida entre a convecção externa e a resistência de condução; numericamente deu e . - Bom trabalho por chegar até aqui — esses problemas com resistências térmicas e simetria esférica aparecem muito em provas; a ideia-chave é sempre: achar
, aplicar as condições de contorno e somar as quedas pelas resistências em série.