(2,0 pts)Uma esfera oca, coeficiente de condutividade \mathrm{k}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right) com raio interno \mathrm{r}=\mathrm{a} e raio externo \mathrm{r}=\mathrm{b} é aquecido na superficie interna a uma taxa q_{0}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}\right) e dissipa convectivamente calor pela superficie externa para um fluido à temperatura \mathrm{T}_{\sigma}, com um coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}\left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Calcule as temperaturas nas superficies interna e externa da esfera nas seguintes condiçòes:
a=3,0 \mathrm{~cm} ; \quad b=5,0 \mathrm{~cm} ; \quad k=15,0 ; \quad q_{0}=10^{5} ; \quad h=400,0 ; \quad T_{0}=100,0 \text {. }

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • raio interno: \displaystyle a=3{,}0\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}.
    • raio externo: \displaystyle b=5{,}0\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
    • condutividade térmica: \displaystyle k=15{,}0\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
    • fluxo uniformemente aplicado na superfície interna: \displaystyle q_{0}=10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • coeficiente de convecção na superfície externa: \displaystyle h=400{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)}.
    • temperatura do fluido externo (temperatura à qual a superfície externa perde calor): \displaystyle T_{\infty}=T_{0}=100{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • calcular a temperatura na superfície interna (em r=a), denotada \displaystyle T(a);
    • calcular a temperatura na superfície externa (em r=b), denotada \displaystyle T(b).

Passo 2

Entendimento físico e método (passo-a-passo conceitual, sem fórmulas finais ainda).
  • Estamos em estado estacionário: a taxa de calor que atravessa qualquer superfície esférica concêntrica é a mesma (não há acúmulo de energia).
  • A condição dada na superfície interna é um fluxo de calor \displaystyle q_{0} (em \mathrm{W/m^{2}}). A potência total que sai pela superfície interna é o fluxo vezes a área interna.
  • Essa potência viaja radialmente pela parede esférica por condução e depois é rejeitada por convecção na superfície externa. Logo há duas “quedas de temperatura” em série:
    1. queda pela condução na casca esférica entre r=a e r=b;
    2. queda por convecção entre a superfície externa r=b e o fluido com temperatura \displaystyle T_{\infty}.
  • Podemos usar a igualdade da potência (fluxo total) e expressar as quedas de temperatura com resistências térmicas equivalentes. Alternativamente, derivar da lei de Fourier no regime radial esférico. Vou mostrar rapidamente a ideia da lei de Fourier e depois usar a forma de resistências (é mais direta na prática).

Passo 3

Breve derivação (essencial) da relação condução radial em casca esférica e da expressão útil.
  • Lei de Fourier para fluxo radial em coordenadas esféricas (velocidade escalar do fluxo radial):
    q_r(r) = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
    onde \displaystyle A(r)=4\pi r^{2} é a área da esfera de raio r.
  • Em regime estacionário, a potência total radial \displaystyle Q é constante com r, e Q=q_r(r). Assim:
    Q = -k\cdot 4\pi r^{2}\frac{dT}{dr}.
  • Reorganizando,
    \frac{dT}{dr} = -\frac{Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
    Integrando em r entre a e b (ou integrando a equação geral), obtém-se a forma da diferença de temperatura entre as superfícies:
    T(a)-T(b)=\frac{Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
    Esta é a queda de temperatura por condução na casca esférica.
  • Para a convecção na superfície externa:
    Q = h\cdot 4\pi b^{2}\bigl(T(b)-T_{\infty}\bigr),
    que reescreve a diferença T(b)-T_{\infty} em função de Q:
    T(b)-T_{\infty}=\frac{Q}{4\pi b^{2}h}.
  • A potência Q pode ser obtida diretamente do fluxo aplicado na superfície interna:
    Q = q_{0}\cdot 4\pi a^{2}.
  • Com essas três expressões temos tudo: primeiro calcular Q, depois T(b) por convecção e então T(a) somando a queda de condução.

Passo 4

Calcular a potência total Q a partir do fluxo interno \displaystyle q_{0}.
  • Área da superfície interna: 4\pi a^{2}=4\pi(0{,}03)^{2}=4\pi\cdot 0{,}0009=0{,}0036\pi\\ \text{m}^{2}.
  • Potência total: Q = q_{0}\cdot 4\pi a^{2} = 10^{5}\cdot 0{,}0036\pi = 10^{5}\cdot 0{,}0036\pi.Calculando numericamente: Q \approx 1130{,}9733552923255\\ \mathrm{W}.(Arredondaremos os resultados finais com sentido prático; aqui mantenho boa precisão intermediária.)

Passo 5

Calcular a queda de temperatura por convecção e a temperatura externa T(b).
  • Usando \displaystyle T(b)-T_{\infty}=\dfrac{Q}{4\pi b^{2}h}.
  • Calcular 4\pi b^{2}: 4\pi b^{2}=4\pi (0{,}05)^{2}=4\pi\cdot 0{,}0025=0{,}01\pi\\ \text{m}^{2}.
  • Então T(b)-T_{\infty}=\frac{Q}{4\pi b^{2}h}=\frac{Q}{h\cdot 0{,}01\pi}.
  • Numérico: h\cdot 4\pi b^{2} = 400\cdot 0{,}01\pi = 4\pi \approx 12{,}56637061435958\\ \text{(W/}^{\circ}\text{C)}.
T(b)-T_{\infty}=\frac{1130{,}9733552923255}{12{,}56637061435958}\approx 90{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto T(b)=T_{\infty}+90{,}0 = 100{,}0+90{,}0=190{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a queda de temperatura por condução e a temperatura interna T(a).
  • A diferença de temperatura pela condução entre as superfícies é T(a)-T(b)=\frac{Q}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
  • Calcule \displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{b}: \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{0{,}03}-\frac{1}{0{,}05}=33{,}333333\ldots-20=13{,}333333\ldots\\ \text{m}^{-1}.
  • Calcule o fator \displaystyle \frac{1}{4\pi k}: \frac{1}{4\pi k}=\frac{1}{4\pi\cdot 15}=\frac{1}{60\pi}\approx 0{,}005289708843.
  • Logo T(a)-T(b)=Q\cdot\frac{1}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) \approx 1130{,}9733553\cdot 0{,}005289708843\cdot 13{,}3333333.
  • Avaliando numericamente: T(a)-T(b)\approx 80{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Então T(a)=T(b)+80{,}0 = 190{,}0+80{,}0=270{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida (consistência energética).
  • Soma das quedas: (T(a)-T(b))+(T(b)-T_{\infty}) = 80{,}0+90{,}0 =170{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Produto Q vezes resistência total \displaystyle R_{\text{tot}} = \frac{1}{4\pi k}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4\pi b^{2}h} dá a mesma queda total 170{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}. Portanto está consistente.
  • Resultado faz sentido físico: a superfície interna é mais quente que a externa, e a diferença total entre a superfície interna e o fluido é igual a Q vezes as resistências combinadas.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo.
  • Resumindo: a casca esférica conduz uma potência de cerca de 1{,}13\times10^{3}\\ \mathrm{W}. A maior parte da queda foi dividida entre a convecção externa e a resistência de condução; numericamente deu T(b)=190{,}0\\ ^\circ\mathrm{C} e T(a)=270{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — esses problemas com resistências térmicas e simetria esférica aparecem muito em provas; a ideia-chave é sempre: achar Q, aplicar as condições de contorno e somar as quedas pelas resistências em série.

Resposta

\displaystyle T(b)=190{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}
\displaystyle T(a)=270{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados