Um barco de 322 kg está movendo-se a
, seu motor para. Qual a distância que o barco irá se mover até parar supondo que a resistência ao movimento seja uma força com valor
, com
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já é dado:
- Pede a distância que o barco percorre até parar depois que o motor é desligado.
- Dados fornecidos:
- massa do barco:
. - velocidade inicial:
. - força de resistência (oposta ao movimento):
(em newtons), com em .
- massa do barco:
- Objetivo: encontrar a distância total
percorrida desde (quando ) até o barco parar ( ).
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento — explicando por que usar isso:
- A força resultante sobre o barco é somente a resistência, que atua contrária à velocidade. Podemos escrever a segunda lei de Newton:
- Como a resistência é proporcional à velocidade e oposta ao sentido do movimento, tomamos
onde (constante dada). Aqui: -
é a massa do barco ( ), -
é a velocidade em função do tempo ( ), -
tem unidades de (equivalente a ), porque .
-
- Substituindo:
- Observação didática: essa é uma equação diferencial linear simples, a mesma forma que aparece em amortecimento linear. Solução física esperada: velocidade decai exponencialmente.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
— passo a passo:
- Escrevemos a equação separável:
- Separamos as variáveis e integramos:
- Integramos ambos os lados, das condições iniciais
até : - As integrais dão:
- Exponenciando:
- Interpretação: a velocidade decai exponencialmente com constante de tempo
. Depois de tempo da ordem de , a velocidade já estará bastante reduzida.
Passo 4
Calcular a distância total percorrida usando
:
- A distância percorrida desde
até parar (no limite ) é - Substituindo a solução:
- Essa integral é elementar (integral de exponencial). Calcula-se:
- Fórmula final teórica:
Explicando: a distância é produto da velocidade inicial pelo tempo característico . Faz sentido físico: com resistência proporcional à velocidade o barco leva tempo finito para parar e a área sob a curva é .
Passo 5
Substituir os números e calcular cuidadosamente:
- Usando os valores dados:
- Primeiro calcule a razão
: - Agora multiplica por
: - Arredondando de forma razoável (dados iniciais com 2–3 algarismos significativos), obtemos
- Observação: se alguém aproximar mais grosseiramente os dados (ou usar arredondamento intermediário) pode chegar em
; ambos são valores próximos — resultado correto calculado com os números fornecidos é cerca de .
Passo 6
Resumo didático final e verificação rápida:
- Método usado: resolver a EDO linear resultante de
, obter e integrar para achar a distância. - Resultado físico plausível: com resistência proporcional à velocidade, a velocidade nunca atinge zero em tempo finito matematicamente, mas tende a zero exponencialmente; a distância total é finita e dada por
. - Com os valores numéricos, temos
(aproximação compatível com o valor citado).