Um barco de 322 kg está movendo-se a 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, seu motor para. Qual a distância que o barco irá se mover até parar supondo que a resistência ao movimento seja uma força com valor F=33,3 v(N), com v \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
\mathrm{R}: x=30 m

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já é dado:
  • Pede a distância que o barco percorre até parar depois que o motor é desligado.
  • Dados fornecidos:
    • massa do barco: m=322\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade inicial: v_0=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • força de resistência (oposta ao movimento): F=33{,}3\,v (em newtons), com v em \mathrm{m/s}.
  • Objetivo: encontrar a distância total x percorrida desde t=0 (quando v=v_0) até o barco parar ( v\to0).

Passo 2

Modelo físico e equação do movimento — explicando por que usar isso:
  • A força resultante sobre o barco é somente a resistência, que atua contrária à velocidade. Podemos escrever a segunda lei de Newton: m\frac{dv}{dt}=F_{\text{resultante}}.
  • Como a resistência é proporcional à velocidade e oposta ao sentido do movimento, tomamos F_{\text{resultante}}=-k v,onde k=33{,}3 (constante dada). Aqui:
    • m é a massa do barco ( \mathrm{kg}),
    • v(t) é a velocidade em função do tempo ( \mathrm{m/s}),
    • k tem unidades de \mathrm{N\cdot s/m} (equivalente a \mathrm{kg/s}), porque [k]=[F]/[v]=\mathrm{N}/(\mathrm{m/s})=\mathrm{N\,s/m}.
  • Substituindo: m\frac{dv}{dt}=-k v.
  • Observação didática: essa é uma equação diferencial linear simples, a mesma forma que aparece em amortecimento linear. Solução física esperada: velocidade decai exponencialmente.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para v(t) — passo a passo:
  • Escrevemos a equação separável: \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}\,v.
  • Separamos as variáveis e integramos: \frac{1}{v}\,dv=-\frac{k}{m}\,dt.
  • Integramos ambos os lados, das condições iniciais v(0)=v_0 até v(t)=v: \int_{v_0}^{v}\frac{1}{v'}\,dv'=-\frac{k}{m}\int_{0}^{t}dt'.
  • As integrais dão: \ln\!\left(\frac{v}{v_0}\right)=-\frac{k}{m}t.
  • Exponenciando: v(t)=v_0\,\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}.
  • Interpretação: a velocidade decai exponencialmente com constante de tempo \tau=\dfrac{m}{k}. Depois de tempo da ordem de \tau, a velocidade já estará bastante reduzida.

Passo 4

Calcular a distância total percorrida usando v(t):
  • A distância percorrida desde t=0 até parar (no limite t\to\infty) é x=\int_{0}^{\infty} v(t)\,dt.
  • Substituindo a solução: x=\int_{0}^{\infty} v_0\,\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\,dt.
  • Essa integral é elementar (integral de exponencial). Calcula-se: x=v_0\left[-\frac{m}{k}\,\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right]_{0}^{\infty} =v_0\left(0 -\left(-\frac{m}{k}\right)\right) =v_0\frac{m}{k}.
  • Fórmula final teórica: x=\frac{m}{k}\,v_0.Explicando: a distância é produto da velocidade inicial pelo tempo característico \tau=m/k. Faz sentido físico: com resistência proporcional à velocidade o barco leva tempo finito para parar e a área sob a curva v(t) é v_0\tau.

Passo 5

Substituir os números e calcular cuidadosamente:
  • Usando os valores dados: x=v_0\frac{m}{k}=\left(3{,}0\\ \mathrm{m/s}\right)\frac{322\\ \mathrm{kg}}{33{,}3}.
  • Primeiro calcule a razão \dfrac{m}{k}: \frac{m}{k}=\frac{322}{33{,}3}=\frac{3220}{333}\approx9{,}669369\\ \mathrm{s}.
  • Agora multiplica por v_0: x\approx3{,}0\times9{,}669369\\ \mathrm{m}\approx29{,}0081\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma razoável (dados iniciais com 2–3 algarismos significativos), obtemos x\approx29{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Observação: se alguém aproximar mais grosseiramente os dados (ou usar arredondamento intermediário) pode chegar em x\approx30\\ \mathrm{m}; ambos são valores próximos — resultado correto calculado com os números fornecidos é cerca de 29{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo didático final e verificação rápida:
  • Método usado: resolver a EDO linear resultante de m\,dv/dt=-k v, obter v(t)=v_0 e^{-k t/m} e integrar para achar a distância.
  • Resultado físico plausível: com resistência proporcional à velocidade, a velocidade nunca atinge zero em tempo finito matematicamente, mas tende a zero exponencialmente; a distância total é finita e dada por x=v_0 m/k.
  • Com os valores numéricos, temos x\approx29{,}0\\ \mathrm{m} (aproximação compatível com o valor 30\\ \mathrm{m} citado).

Resposta

\;x\approx29{,}0\\ \mathrm{m}

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