Um bloco de 500,0 \mathrm{~g} de um metal desconhecido, que esteve na água fervente por vários minutos, é rapidamente colocado dentro de um copo de isopor (isolante) contendo 1,00 \mathrm{~kg} de água à temperatura ambiente ( 20,0^{\circ} \mathrm{C} ). Depois de esperar e mexer delicadamente por 5,00 minutos, você observa que a temperatura da água alcançou o valor constante de 22,0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Supondo que o isopor absorva uma
quantidade desprezível de calor e que nenhum calor seja perdido para o ambiente, qual é o calor específico do metal? (b) Que material é mais útil para armazenar energia térmica: esse metal ou uma quantidade igual de água? Explique. (c) Suponha agora que o calor absorvido pelo isopor não seja desprezível. O calor específico calculado na parte (a) seria alto demais, baixo demais ou continuaria sendo correto? Explique. Resp: 215 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Massa do bloco de metal: 500,0\\ \mathrm{g}.
  • O bloco esteve na água fervente por vários minutos (ou seja, assumimos que sua temperatura inicial é a da água fervente a 1\\ \text{atm}, isto é 100,0^\circ\mathrm{C}).
  • Massa da água no copo de isopor: 1,00\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial da água: 20,0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final de equilíbrio medida: 22,0^\circ\mathrm{C}.
  • O copo de isopor inicialmente foi desprezado (na parte (a) assume-se que ele não absorve calor) e não há perda de calor para o ambiente.
    As perguntas são:
    (a) Qual é o calor específico do metal?
    (b) Que material é mais útil para armazenar energia térmica: esse metal ou uma quantidade igual de água? Explique.
    (c) Se o isopor absorve calor (não desprezível), o valor do calor específico calculado em (a) ficaria alto demais, baixo demais ou continuaria correto? Explique.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar: conservação de energia térmica (calor perdido = calor ganho) e a definição de calor sensível.
  • A quantidade de calor trocada por uma massa m quando sua temperatura muda de T_i para T_f é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde c é o calor específico do material e \Delta T = T_f - T_i.
  • No nosso problema o metal perde calor e a água ganha calor. Se desprezarmos o isopor e perdas para o ambiente, então o calor perdido pelo metal em módulo é igual ao calor ganho pela água:
m_{\text{metal}}\,c_{\text{metal}}(T_{\text{metal,i}}-T_{\text{final}})=m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}(T_{\text{final}}-T_{\text{água,i}}).ááá
Observações importantes e conversões de unidade:
  • Converter 500,0\\ \mathrm{g} para quilogramas: 500,0\\ \mathrm{g}=0,500\\ \mathrm{kg}.
  • A variação de temperatura em graus Celsius é numericamente igual à variação em kelvin, então podemos usar \Delta T em ^\circ\mathrm{C} diretamente.
  • Usaremos o valor padrão do calor específico da água: c_{\text{água}}=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á (valor prático comum).

Passo 3

Escrevemos a equação de conservação de calor e isolamos c_{\text{metal}}. Usando as notações:
m_m = 0,500\\ \mathrm{kg},\quad m_w = 1,00\\ \mathrm{kg},
T_{m,i}=100,0^\circ\mathrm{C},\quad T_{w,i}=20,0^\circ\mathrm{C},\quad T_f=22,0^\circ\mathrm{C}.
A equação é
m_m\,c_m\,(T_{m,i}-T_f)=m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}).
Isolando c_m:
c_m=\frac{m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i})}{m_m\,(T_{m,i}-T_f)}.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo os termos numéricos. Primeiro as variações de temperatura:
\Delta T_w = T_f-T_{w,i}=22,0-20,0=2,0\\ ^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_m = T_{m,i}-T_f=100,0-22,0=78,0\\ ^\circ\mathrm{C}.
Substituindo na expressão de c_m:
c_m=\frac{(1,00\\ \mathrm{kg})\times(4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)})\times(2,0\\ \mathrm{K})}{(0,500\\ \mathrm{kg})\times(78,0\\ \mathrm{K})}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
\text{numerador}=1,00\times4184\times2,0=8368\\ \mathrm{J}.
\text{denominador}=0,500\times78,0=39,0\\ \mathrm{kg\cdot K}.
Dividindo:
c_m=\frac{8368}{39,0}=214,56\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Arredondando com três algarismos significativos temos c_m\approx215\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. (Essa é a resposta numérica da parte (a).)

Passo 5

Parte (b) — comparação com a água e interpretação física:
  • O calor armazenado por massa para uma mesma mudança de temperatura \Delta T é proporcional ao calor específico c (pois Q=m c \Delta T). Portanto, para massas iguais e mesma \Delta T, o material com maior c armazena mais energia.
  • O valor calculado para o metal é c_{\text{metal}}\approx215\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, enquanto c_{\text{água}}=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á. Então a água tem calor específico muito maior. Vamos calcular a razão:
\frac{c_{\text{água}}}{c_{\text{metal}}}\approx\frac{4184}{215}\approx19,5.á
Isto significa que, para a mesma massa e mesma \Delta T, a água pode armazenar cerca de 19,5 vezes mais energia térmica do que esse metal. Conclusão: a água é muito mais útil para armazenar energia térmica (por massa) do que esse metal.

Passo 6

Parte (c) — efeito de o isopor absorver calor: análise qualitativa.
  • No cálculo da parte (a) assumimos que todo o calor perdido pelo metal foi ganho pela água. Se, na realidade, o isopor (copinho) absorve uma quantidade não desprezível de calor, então parte do calor perdido pelo metal foi usada para aquecer o isopor além da água. Portanto o calor ganho pela água é menor que o calor perdido pelo metal.
  • Na equação que usamos em (a) nós igualamos Q_{\text{metal}} a Q_{\text{água}}á. Se na verdade Q_{\text{metal}}=Q_{\text{água}}+Q_{\text{isopor}}á e Q_{\text{isopor}}>0, então o verdadeiro Q_{\text{metal}} é maior do que o valor que usamos. Como Q_{\text{metal}}=m_m c_m \Delta T_m, o c_m verdadeiro seria maior do que o que calculamos quando igualamos só à água.
  • Conclusão: se o isopor absorve calor, o valor calculado em (a) ficou baixo demais (subestimado).

Resposta

(a) c_{\text{metal}} \approx 215\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
(b) Água — a água armazena mais energia térmica por massa (cerca de 19,5 vezes mais do que o metal para a mesma \Delta T).
(c) O valor calculado em (a) estaria baixo demais (subestimado) se o isopor absorvesse calor.

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