Uma panela com fundo de aço de espessura igual a 8,50 \mathrm{~mm} está em repouso sobre um fogão quente. a área da base da panela é 0,150 \mathrm{~m} 2. a água no interior da panela está a 100,0^{\circ} \mathrm{C}, e são vaporizados 0,390 kg de água a cada 3,00 \mathrm{~min}. calcule a temperatura da superfície inferior da panela que está em contato com o fogão.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a temperatura da superfície inferior da panela (a superfície que está em contato com o fogão). Dados fornecidos (vou nomear cada um para usar depois):
\begin{aligned} &\text{espessura do fundo:}\quad d = 8{,}50\\ \mathrm{mm} = 0{,}00850\\ \mathrm{m},\\\ &\text{área da base:}\quad A = 0{,}150\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{temperatura da água (modo de ebulição):}\quad T_{\text{água}} = 100{,}0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{massa de água vaporizada:}\quad m = 0{,}390\\ \mathrm{kg}\\ \text{a cada}\\ \Delta t = 3{,}00\\ \mathrm{min} = 180\\ \mathrm{s}. \end{aligned}ááçãáá
A pergunta é: qual é a temperatura da superfície inferior da panela que toca o fogão? (Vou chamar essa temperatura de T_{\text{fogão}}ã.)

Passo 2

Ideia física e conservação de energia (explicação didática):
Quando a água ferve e se vaporiza, precisa de energia — a energia por unidade de massa necessária para transformar água líquida a 100{,}0^\circ\mathrm{C} em vapor a 100{,}0^\circ\mathrm{C} é o calor latente de vaporização L. Em regime estacionário (situação constante no tempo), a potência térmica que atravessa o fundo da panela do fogão para a água é exatamente a potência necessária para vaporizar a água. Logo:
\dot Q = \dot m\,L,
onde \dot Q é a potência (energia por segundo) fornecida através do fundo e \dot m é a vazão mássica (massa vaporada por segundo). Vamos calcular \dot m e \dot Q.
Cálculo da vazão mássica:
\dot m = \frac{m}{\Delta t} = \frac{0{,}390\\ \mathrm{kg}}{180\\ \mathrm{s}} = 0{,}0021667\\ \mathrm{kg/s}.
Valor do calor latente de vaporização da água (ensino): o calor latente de vaporização da água a 100^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
L = 2{,}26\times 10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
Então a potência necessária para vaporizar a água é
\dot Q = \dot m\,L = 0{,}0021667\cdot 2{,}26\times 10^{6}\\ \mathrm{J/s}.
Faço a conta:
\dot Q = 4{,}893\times 10^{3}\\ \mathrm{W} \quad(\text{aprox. }4{,}89\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Condução de calor pelo fundo da panela (fórmula e conceitos):
A transferência de calor através do fundo fino pode ser tratada como condução unidimensional estacionária. A lei de Fourier (forma para regime estacionário e material homogêneo) dá:
\dot Q = k\,A\,\frac{\Delta T}{d},
onde:
  • \dot Q é a potência térmica (W),
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • A é a área perpendicular ao fluxo ( \mathrm{m}^2),
  • \Delta T = T_{\text{fogão}} - T_{\text{água}}ãá é a diferença de temperatura através da espessura d,
  • d é a espessura ( \mathrm{m}).
Reorganizando para achar \Delta T:
\Delta T = \frac{\dot Q\,d}{k\,A}.
Explicando cada termo de modo bem prático: a potência atravessando o fundo depende de quanto “esforço térmico” (diferença de temperatura) existe, da facilidade que o material tem de conduzir calor (k), da área disponível (A) e da espessura do caminho (d). Se k é grande, pouco salto de temperatura é necessário para transmitir a mesma potência.

Passo 4

Escolha do valor de k e substituição numérica:
Preciso de um valor para a condutividade térmica do aço. Panela com fundo de aço normalmente usa aço inoxidável cujo k típico é da ordem de 15 a 20\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, mas “aço” genérico pode ter valores maiores (até \sim 50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}). Vou usar um valor típico razoável para aço comum em problemas didáticos:
k = 50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad(\text{valor típico adotado para aço; se fosse aço inoxidável puro, \(k\) seria menor e \(\Delta T\) maior}).íççá
Agora substituo os valores em
\Delta T = \frac{\dot Q\,d}{k\,A}.
Colocando os números (mostrando as unidades para ficar claro):
\dot Q = 4{,}893\times 10^{3}\\ \mathrm{W},\quad d = 0{,}00850\\ \mathrm{m},\quad k = 50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad A=0{,}150\\ \mathrm{m}^2.
\Delta T = \frac{4{,}893\times 10^{3}\cdot 0{,}00850}{50\cdot 0{,}150}\\ \mathrm{K}.
Faço a conta passo a passo:
\text{numerador} = 4{,}893\times 10^{3}\cdot 0{,}00850 = 41{,}59\\ \mathrm{W\cdot m},
\text{denominador} = 50\cdot 0{,}150 = 7{,}50\\ \mathrm{W/K}.
\Delta T = \frac{41{,}59}{7{,}50} = 5{,}55\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Temperatura da superfície em contato com o fogão (resultado final e interpretação):
Como \Delta T = T_{\text{fogão}} - T_{\text{água}}ãá, temos
T_{\text{fogão}} = T_{\text{água}} + \Delta T = 100{,}0^\circ\mathrm{C} + 5{,}55\\ \mathrm{K}.ãá
Lembre-se que 1 K corresponde a 1 °C na diferença, então
T_{\text{fogão}} = 105{,}6^\circ\mathrm{C}\quad(\text{aprox.}).ã
Comentário rápido e incentivo: se você usar outro valor razoável para k (por exemplo, k menor, como para aço inoxidável k\approx 16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}), o salto de temperatura aumenta — por exemplo com k=16 daria T_{\text{fogão}}\approx 117^\circ\mathrm{C}ã. Então é importante observar qual k o enunciado assume; aqui usamos k=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} como valor típico para aço comum.

Resposta

T_{\text{fogão}} \approx 105{,}6^\circ\mathrm{C}ã

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