• Calcule as frequências correspondentes aos comprimentos de onda:
700 nm (vermelho)
520 nm (verde)
400 nm (violeta)
  • Calcule os comprimentos de onda corresponentes às frequências:
    10^{6} \mathrm{~Hz} (rádio AM)
    (87-108) \times 10^{6} \mathrm{~Hz} (rádio FM)
    10^{18} \mathrm{~Hz} (raios X) - compare com o tamanho típico dos átomos
    { }^{10}{ }^{23} \mathrm{~Hz} (raios gama) - compare com o tamanho do núcleo atômico
    2,4 \times 10^{9} \mathrm{~Hz} (bluetooth)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  1. Calcular as frequências correspondentes aos comprimentos de onda:
    \,700\\ \mathrm{nm} (vermelho),
    \,520\\ \mathrm{nm} (verde),
    \,400\\ \mathrm{nm} (violeta).
  2. Calcular os comprimentos de onda correspondentes às frequências:
    \,10^{6}\\ \mathrm{Hz} (rádio AM),
    \,(87-108)\times10^{6}\\ \mathrm{Hz} (rádio FM),
    \,10^{18}\\ \mathrm{Hz} (raios X) — comparar com o tamanho típico dos átomos,
    \,10^{23}\\ \mathrm{Hz} (raios gama) — comparar com o tamanho do núcleo atômico,
    \,2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} (bluetooth).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (todas escritas em notação matemática):
\text{Comprimentos de onda: }\; \lambda_1=700\\ \mathrm{nm},\;\lambda_2=520\\ \mathrm{nm},\;\lambda_3=400\\ \mathrm{nm}.
\text{Frequências: }\; f_A=10^{6}\\ \mathrm{Hz},\; f_{FM}=(87-108)\times10^{6}\\ \mathrm{Hz},\; f_X=10^{18}\\ \mathrm{Hz},\; f_\gamma=10^{23}\\ \mathrm{Hz},\; f_{BT}=2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.ê
Observação sobre unidades (importante para não errar conversões): 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{Hz}=1\\ \mathrm{s}^{-1}.
A resolução numérica começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que relaciona velocidade da luz, comprimento de onda e frequência, e explicar tudo direitinho.
A relação é
c=\lambda\cdot f,
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo (vamos usar c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s});
  • \lambda é o comprimento de onda em metros ( \mathrm{m});
  • f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz}=\mathrm{s}^{-1}).
Dessa relação isolamos a quantidade que precisamos:
  • Para achar a frequência a partir do comprimento de onda:
f=\dfrac{c}{\lambda}.
  • Para achar o comprimento de onda a partir da frequência:
\lambda=\dfrac{c}{f}.
Explicando a notação científica e conversões rápidas:
  • Converter \mathrm{nm} para \mathrm{m}: multiplicar por 10^{-9}.
  • Usar sempre as mesmas unidades (metros e segundos) evita perda de fator.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo para cada caso.

Passo 3

Calcular a frequência para \lambda=700\\ \mathrm{nm} (vermelho).
Primeiro converto o comprimento de onda para metros:
\lambda=700\\ \mathrm{nm}=700\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=7{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora uso f=\dfrac{c}{\lambda}:
f=\dfrac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{7{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.
Faço a divisão de potências de 10 e coeficientes:
f=\dfrac{3{,}00}{7{,}00}\times10^{8-(-7)}\\ \mathrm{Hz}=\dfrac{3{,}00}{7{,}00}\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Calculando o quociente \dfrac{3{,}00}{7{,}00}=0{,}42857\ldots, arredondando razoavelmente:
f\approx4{,}29\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular a frequência para \lambda=520\\ \mathrm{nm} (verde).
Converto para metros:
\lambda=520\\ \mathrm{nm}=520\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5{,}20\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Uso f=\dfrac{c}{\lambda}:
f=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{5{,}20\times10^{-7}}\\ \mathrm{Hz}.
Fazendo a divisão:
f=\dfrac{3{,}00}{5{,}20}\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
\dfrac{3{,}00}{5{,}20}=0{,}5769\ldots, então
f\approx5{,}77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular a frequência para \lambda=400\\ \mathrm{nm} (violeta).
Converto para metros:
\lambda=400\\ \mathrm{nm}=400\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=4{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Uso f=\dfrac{c}{\lambda}:
f=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{4{,}00\times10^{-7}}\\ \mathrm{Hz}.
Fazendo a conta:
f=\dfrac{3{,}00}{4{,}00}\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}=0{,}75\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}=7{,}50\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Agora passamos para a segunda parte: calcular comprimentos de onda a partir das frequências dadas. Primeiro faço o caso do rádio AM: f=10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Uso \lambda=\dfrac{c}{f}:
\lambda=\dfrac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{10^{6}\\ \mathrm{Hz}}.
Isso dá:
\lambda=3{,}00\times10^{2}\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: ondas de rádio AM têm comprimentos de dezenas ou centenas de metros — bem grandes comparadas a objetos do dia a dia.

Passo 7

Caso do rádio FM, faixa f=(87-108)\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}. Vou calcular os dois extremos.
Para f_{1}=87\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}:
\lambda_{1}=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{87\times10^{6}}\\ \mathrm{m}=\dfrac{3{,}00}{87}\times10^{8-6}\\ \mathrm{m}=\dfrac{3{,}00}{87}\times10^{2}\\ \mathrm{m}.
\dfrac{3{,}00}{87}=0{,}0344827\ldots \Rightarrow \lambda_{1}\approx3{,}45\\ \mathrm{m}.
Para f_{2}=108\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}:
\lambda_{2}=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{108\times10^{6}}\\ \mathrm{m}=\dfrac{3{,}00}{108}\times10^{2}\\ \mathrm{m}.
\dfrac{3{,}00}{108}=0{,}027777\ldots \Rightarrow \lambda_{2}\approx2{,}78\\ \mathrm{m}.
Portanto a faixa típica de comprimentos de onda do FM é aproximadamente \,3{,}45\\ \mathrm{m} a \,2{,}78\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Caso dos raios X: f_X=10^{18}\\ \mathrm{Hz}.
Usando \lambda=\dfrac{c}{f}:
\lambda=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{10^{18}}\\ \mathrm{m}=3{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais familiares: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}, então
\lambda=3{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}30\\ \mathrm{nm}=3{,}0\\ \text{\AA} \\ (\text{angström}),ö
onde 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Comparação com o tamanho típico dos átomos:
  • Átomos têm raios da ordem de 0{,}1\\ \mathrm{nm}=1{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=1\\ \text{\AA}.
  • Logo \lambda_{X}\approx0{,}30\\ \mathrm{nm} é da mesma ordem de grandeza (algumas vezes o tamanho atômico), ou seja, comprimentos de onda de raios X são comparáveis ao espaçamento entre átomos em sólidos e por isso são úteis para difração em cristalografia.

Passo 9

Caso dos raios gama: f_\gamma=10^{23}\\ \mathrm{Hz}.
Usando \lambda=\dfrac{c}{f}:
\lambda=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{10^{23}}\\ \mathrm{m}=3{,}00\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
Converter para femtômetros (1 fm =10^{-15}\\ \mathrm{m}):
\lambda=3{,}0\\ \mathrm{fm}.
Comparação com o tamanho típico do núcleo atômico:
  • Núcleos têm dimensões da ordem de 1\\ \text{fm} a 10\\ \text{fm}.
  • Logo \lambda_{\gamma}\approx3{,}0\\ \mathrm{fm} é da mesma ordem de grandeza do núcleo, razão pela qual raios gama interagem com núcleos e processos nucleares.

Passo 10

Caso do bluetooth: f_{BT}=2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Usando \lambda=\dfrac{c}{f}:
\lambda=\dfrac{3{,}00\times10^{8}}{2{,}4\times10^{9}}\\ \mathrm{m}.
Faço a divisão:
\lambda=\dfrac{3{,}00}{2{,}4}\times10^{8-9}\\ \mathrm{m}=1{,}25\times10^{-1}\\ \mathrm{m}=0{,}125\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros:
0{,}125\\ \mathrm{m}=12{,}5\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: antenas e propagação de Bluetooth lidam com comprimentos de onda da ordem de dezenas de centímetros.

Resposta

700\\ \mathrm{nm} (vermelho): f\approx4{,}29\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
520\\ \mathrm{nm} (verde): f\approx5{,}77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
400\\ \mathrm{nm} (violeta): f\approx7{,}50\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
10^{6}\\ \mathrm{Hz} (rádio AM): \lambda=3{,}00\times10^{2}\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{m}
(87-108)\times10^{6}\\ \mathrm{Hz} (rádio FM): \lambda\approx3{,}45\\ \mathrm{m}\\ \text{(para }87\times10^{6}\text{ Hz)} a \lambda\approx2{,}78\\ \mathrm{m}\\ \text{(para }108\times10^{6}\text{ Hz)}
10^{18}\\ \mathrm{Hz} (raios X): \lambda=3{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}30\\ \mathrm{nm} (comparável ao tamanho dos átomos, ordem de 0{,}1\\ \mathrm{nm})
10^{23}\\ \mathrm{Hz} (raios gama): \lambda=3{,}00\times10^{-15}\\ \mathrm{m}=3{,}0\\ \mathrm{fm} (comparável ao tamanho do núcleo atômico, ordem de 1\text{–}10\\ \mathrm{fm})
2{,}4\times10^{9}\\ \mathrm{Hz} (bluetooth): \lambda=1{,}25\times10^{-1}\\ \mathrm{m}=0{,}125\\ \mathrm{m}=12{,}5\\ \mathrm{cm}

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