Um bloco é abandonado do repouso e desce um plano inclinado com aceleração de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. O ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal vale 60^{\circ}. Dados \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} /\mathrm{s}^{2}, \cos 60^{\circ}=0,5, sen 60^{\circ}=\sqrt{ } 3 / 2, \sqrt{ } 3=1,73. Determine:
O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • O bloco parte do repouso e desce o plano inclinado com aceleração \,a=6\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • O ângulo do plano com a horizontal é \,\theta=60^\circ\,.
  • A aceleração da gravidade é \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • Valores trigonométricos fornecidos: \cos 60^\circ=0,5, \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}=1,73.
  • O que se pede: determinar o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano, isto é \mu_{k}.

Passo 2

Força atuantes e convenção de sinais (explicação física):
  • A força peso tem intensidade \,mg\, e age verticalmente para baixo.
  • Decompondo o peso em componentes relativas ao plano inclinado:
    • Componente paralela ao plano (que tende a fazer o bloco descer): \,mg\sin\theta\,.
    • Componente perpendicular ao plano (que gera a normal): \,mg\cos\theta\,.
  • A força normal é \,N=mg\cos\theta\, (porque não há aceleração perpendicular ao plano).
  • A força de atrito cinético tem intensidade \,F_{\text{atrito}}=\mu_{k}N=\mu_{k}mg\cos\theta\, e aponta para cima ao longo do plano (oposta ao movimento de descida).
  • Escolhemos o sentido positivo para baixo ao longo do plano (mesmo sentido da aceleração a).

Passo 3

Escrevendo a segunda lei de Newton ao longo do plano (passo a passo e explicando cada termo):
  • A segunda lei diz que massa vezes aceleração é igual à soma das componentes das forças no eixo considerado.
  • No eixo paralelo ao plano, as forças são: \,mg\sin\theta\, (para baixo) e -\mu_{k}mg\cos\theta\, (para cima).
  • Portanto:
m a = mg\sin\theta - \mu_{k} m g \cos\theta.
  • Aqui:
    • m é a massa do bloco (cancela depois),
    • a é a aceleração dada,
    • g é a gravidade,
    • \theta é o ângulo do plano,
    • \mu_{k} é o coeficiente de atrito cinético que queremos achar.

Passo 4

Isolando \mu_{k} na equação (álgebra detalhada):
  • A equação do Passo 3:
m a = mg\sin\theta - \mu_{k} m g \cos\theta.
  • Dividindo ambos os lados por mg (para eliminar m e fator comum g):
\frac{a}{g} = \sin\theta - \mu_{k}\cos\theta.
  • Isolando \mu_{k}:
\mu_{k}\cos\theta = \sin\theta - \frac{a}{g},
\mu_{k} = \frac{\sin\theta - \dfrac{a}{g}}{\cos\theta}.
  • Essa é a expressão prática que vamos usar: \displaystyle \mu_{k}=\frac{\sin\theta - a/g}{\cos\theta}.
  • Observação intuitiva: se a fosse igual a g\sin\theta (sem atrito), \mu_{k}=0; se a for menor, aparece um \mu_{k}>0.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando com cuidado (cada operação detalhada):
  • Primeiro calcule \sin 60^\circ usando os dados: \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1,73}{2}=0,865. Então
\sin\theta=0,865.
  • \cos 60^\circ=0,5.
  • Calcule a/g:
\frac{a}{g}=\frac{6}{10}=0,6.
  • Substituindo em \mu_{k}=\dfrac{\sin\theta - a/g}{\cos\theta}:
\mu_{k}=\frac{0,865-0,6}{0,5}.
  • Faça a subtração no numerador:
0,865-0,6=0,265.
  • Dividindo pelo denominador:
\mu_{k}=\frac{0,265}{0,5}=0,53.

Passo 6

Verificação e interpretação final:
  • O valor encontrado é \mu_{k}=0,53, adimensional.
  • É um valor razoável para coeficiente de atrito (positivo e menor que 1), compatível com superfícies que oferecem atrito moderado.
  • Bom trabalho — você já tem a fórmula pronta para aplicar a problemas semelhantes: \displaystyle \mu_{k}=\frac{\sin\theta - a/g}{\cos\theta}.

Resposta

\mu_{k}=0,53

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