Um bloco de amianto é quadrado na seção transversal, medindo 5 cm de lado em sua extremidade menor, aumentando linearmente até 10 cm de lado na extremidade maior. O bloco tem uma altura de 15 cm . Se a extremidade menor for mantida a 600 K e a extremidade maior a 300 K , qual será a taxa de calor obtida se os quatro lados forem isolados? Admita condução de calor unidimensional. A condutividade térmica de amianto pode ser considerada 0,173 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}.
R: q=1,73 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá um bloco de amianto de altura L=15\text{ cm} cujas faces laterais estão isoladas, de modo que o calor flui só ao longo do eixo vertical. A seção transversal é quadrada com lado variando linearmente de a_1=5\text{ cm} (extremidade quente a 600 K) até a_2=10\text{ cm} (extremidade fria a 300 K). O material tem condutividade térmica k=0,173\text{ W/m\cdotK}. Queremos achar a taxa de calor q em regime permanente.

Passo 2

Em condução unidimensional com área variável, podemos usar o conceito de resistência térmica infinitesimal
\mathrm{d}R=\frac{\mathrm{d}x}{k\,A(x)},
onde A(x) é a área da seção transversal num ponto a distância x da extremidade quente. A resistência total vale
R=\int_{0}^{L}\frac{\mathrm{d}x}{k\,A(x)},
e a taxa de calor é
q=\frac{\Delta T}{R},
com \Delta T=600\text{ K}-300\text{ K}=300\text{ K}.

Passo 3

Convertendo para o SI: \;L=0{,}15\text{ m},\;a_1=0{,}05\text{ m},\;a_2=0{,}10\text{ m}.
Como o lado varia linearmente, em x temos
\ell(x)=a_1+\frac{a_2-a_1}{L}\,x =0{,}05+\frac{0{,}10-0{,}05}{0{,}15}\,x =0{,}05+\frac{1}{3}x,
e a área
A(x)=\bigl[\ell(x)\bigr]^2 =\Bigl(0{,}05+\tfrac{1}{3}x\Bigr)^{2}.

Passo 4

Calculamos a resistência térmica total:
R =\int_{0}^{0{,}15}\frac{\mathrm{d}x}{k\,(0{,}05+\tfrac{1}{3}x)^{2}} =\frac{1}{k}\int_{0}^{0{,}15}(0{,}05+\tfrac{1}{3}x)^{-2}\mathrm{d}x.
Como \displaystyle\int (a+bx)^{-2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{b(a+bx)},
temos
R =\frac{1}{k}\Bigl[-\frac{1}{\tfrac{1}{3}(0{,}05+\tfrac{1}{3}x)}\Bigr]_{0}^{0{,}15} =\frac{3}{k}\Bigl(\frac{1}{0{,}05}-\frac{1}{0{,}05+0{,}05}\Bigr) =\frac{3}{0{,}173}\bigl(20-10\bigr) =\frac{30}{0{,}173} \approx173{,}4\;\text{K/W}.

Passo 5

Finalmente,
q=\frac{\Delta T}{R} =\frac{300}{173{,}4} \approx1{,}73\;\text{W}.

Resposta

q=1{,}73\text{ W}

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