Um bloco
de
parte do repouso e desliza sobre uma cunha
de
que é suportada por uma superfície horizontal. Desprezando o atrito, determine (a) a aceleração da cunha e (b) a aceleração do bloco relativa à cunha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um bloco de 6 kg que está parado e começa a deslizar sobre uma cunha de 15 kg apoiada numa superfície horizontal. Queremos descobrir duas coisas: (a) qual é a aceleração da cunha e (b) qual é a aceleração do bloco em relação à cunha. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as leis de Newton, especialmente a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos usar conceitos de movimento relativo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças envolvidas. Como estamos ignorando o atrito, as únicas forças que atuam na cunha são:
- O peso da cunha:
- O peso do bloco:
- A força de reação da superfície sobre a cunha, que tem componentes horizontal e vertical.
Aqui,
(massa da cunha),
(massa do bloco) e
(aceleração da gravidade).
Passo 3
Vamos considerar o sistema como um todo primeiro para achar a aceleração da cunha. Usando a segunda lei de Newton:
Mas precisamos identificar quais for��as estão causando a aceleração. Como a superfície é horizontal e sem atrito, a força que causa a aceleração é a componente horizontal da força exercida pelo bloco na cunha.
Para achar essa componente, precisamos considerar que o bloco está deslizando sobre a cunha, criando uma força perpendicular e outra paralela à superfície da cunha.
Passo 4
Vamos decompor as forças. A força que o bloco exerce na cunha tem uma componente horizontal que empurra a cunha para trás. Usando trigonometria, se a cunha faz um ângulo
com a horizontal, a componente horizontal da força é:
Essa força é a que vai acelerar a cunha. Aplicando a segunda lei de Newton para a cunha:
Substituindo:
Daí, isolamos
:
Passo 5
Agora, para achar a aceleração relativa do bloco em relação à cunha, precisamos considerar que o bloco está acelerando tanto em relação ao chão quanto à cunha. A aceleração relativa é a diferença entre a aceleração do bloco e a aceleração da cunha.
Se
é a aceleração do bloco em relação ao chão, então:
Usando novamente a segunda lei para o bloco:
Então:
Portanto:
Resposta
(a) A aceleração da cunha é
.
(b) A aceleração do bloco relativa à cunha é
.