(a) Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos) h1=(sin zeta) s+(cos zeta) p e h2=(cos zeta) s-(sin zeta) p são mutuamente ortogonais para todos os valores do ângulo zeta (zeta). Note que o ângulo zeta é um parâmetro e não uma coordenada angular em d tau.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma questão que pede para mostrar que duas combinações lineares chamadas de orbitais híbridos, h1 e h2, são mutuamente ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si, para qualquer valor do ângulo zeta. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especialmente noções de combinação linear e ortogonalidade de vetores. Vamos precisar usar as propriedades de seno e cosseno e a definição de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores (ou orbitais, no caso) são ortogonais. Dois vetores a e b são ortogonais se o produto interno entre eles for zero, ou seja, a cdot b = 0.

Passo 3

Agora, vamos escrever as expressões dos orbitais híbridos dado no enunciado:
h1 = (sin zeta) s + (cos zeta) p
h2 = (cos zeta) s - (sin zeta) p

Passo 4

Para verificar a ortogonalidade, vamos calcular o produto interno h1 cdot h2:
h1 cdot h2 = [(sin zeta) s + (cos zeta) p] cdot [(cos zeta) s - (sin zeta) p]

Passo 5

Vamos expandir o produto interno usando a distributiva:
h1 cdot h2 = (sin zeta)(cos zeta)(s cdot s) + (sin zeta)(- sin zeta)(s cdot p) + (cos zeta)(cos zeta)(p cdot s) + (cos zeta)(- sin zeta)(p cdot p)

Passo 6

Sabemos que s e p são ortogonais, então s cdot p = p cdot s = 0. Além disso, assumimos que s cdot s = p cdot p = 1 (normalizados). Simplificando:
h1 cdot h2 = (sin zeta cos zeta)(1) + (sin zeta)(- sin zeta)(0) + (cos zeta)(cos zeta)(0) + (cos zeta)(- sin zeta)(1)
h1 cdot h2 = sin zeta cos zeta - sin zeta cos zeta

Passo 7

Simplificando mais, vemos que os termos se cancelam:
h1 cdot h2 = sin zeta cos zeta - sin zeta cos zeta = 0

Resposta

Portanto, mostramos que h1 e h2 são mutuamente ortogonais para qualquer valor do ângulo zeta porque o produto interno entre eles é zero.

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