Duas partículas de cargas positivas q e 3 q são fixadas nas extremidades de um bastão isolante de comprimento d. Uma terceira partícula carregada pode se mover livremente ao longo do comprimento do bastão.
Discuta a estabilidade do equilíbrio dessa partícula em função do sinal de sua carga. (Dica: considere pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com cargas positivas, uma com carga q e outra com carga 3q, fixas nas extremidades de um bastão isolante de comprimento d. Além disso, tem uma terceira partícula carregada que pode se mover livremente ao longo desse bastão. A pergunta é sobre a estabilidade do equilíbrio dessa terceira partícula, dependendo do sinal da sua carga. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força elétrica (Lei de Coulomb) e critérios de estabilidade de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas é dada por:
F = ke |q1 q2|r^2
onde ke é a constante eletrostática, q1 e q2 são as cargas, e r é a distância entre elas. Essa força pode ser de atração ou repulsão, dependendo dos sinais das cargas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a posição de equilíbrio da terceira partícula. O equilíbrio ocorre quando a força resultante sobre ela é zero. Então, a força exercida pela carga q e a força exercida pela carga 3q devem se cancelar.

Passo 4

Vamos chamar a posição da terceira partícula de x, medindo a partir da carga q. Assim, a distância até a carga 3q será d - x. As forças sobre a partícula são:
  • Força da carga q: Fq = ke q Qx^2
  • Força da carga 3q: F3q = ke 3q Q(d - x)^2
    Onde Q é a carga da terceira partícula.

Passo 5

No equilíbrio, essas forças devem se cancelar. Como as duas cargas são positivas, se Q for positiva, ambas as forças vão ser repulsivas; se Q for negativa, as forças vão ser atrativas. Então temos:
ke q Qx^2 = ke 3q Q(d - x)^2

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por ke q Q (assumindo que Q neq 0):
1x^2 = 3(d - x)^2
Resolvendo essa equação para x, encontramos a posição de equilíbrio.

Passo 7

Resolvendo a equação:
(d - x)^2 = 3x^2 d^2 - 2dx + x^2 = 3x^2 d^2 - 2dx - 2x^2 = 0
Essa é uma equação quadrática em x. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = 2d pm raiz(2d)^2 + 16x^24
No entanto, para simplificar, percebemos que a posição de equilíbrio está em x = draiz3+1.

Passo 8

Agora, para verificar a estabilidade, consideramos pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio. Se, após o deslocamento, as forças tendem a trazer a partícula de volta à posição original, o equilíbrio é estável; caso contrário, é instável.

Passo 9

Se Q for positiva:
  • Quando a partícula se desloca um pouco para a direita, a força repulsiva da carga 3q aumenta mais rapidamente do que a força da carga q diminui, empurrando a partícula ainda mais para a direita.
  • Quando se desloca para a esquerda, a força repulsiva da carga q aumenta, empurrando-a mais para a esquerda.
    Isso significa que a partícula tende a se afastar da posição de equilíbrio, caracterizando um equilíbrio instável.

Passo 10

Se Q for negativa:
  • Quando a partícula se desloca um pouco para a direita, a força atrativa da carga 3q aumenta, puxando a partícula de volta para a esquerda.
  • Quando se desloca para a esquerda, a força atrativa da carga q aumenta, puxando a partícula de volta para a direita.
    Aqui, a partícula tende a voltar à posição de equilíbrio, indicando um equilíbrio estável.

Resposta

Concluímos que o equilíbrio da terceira partícula é estável se sua carga Q for negativa e instável se Q for positiva.

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