Um bloco cilíndrico de latão, com 160 mm de altura e 120 mm de diâmetro é deixado afundar num oceano até a profundidade onde a pressão é de 75 MPa (cerca de 7500 m abaixo da superfície). Sabendo-se que
e
, determinar: (a) variação do altura do bloco (b) sua variação do diâmetro (c) sua dilatação volumétrica específica (d) variação do volume
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um bloco cilíndrico de latão submetido à pressão externa de
:
(a) variação da altura, (b) variação do diâmetro, (c) dilatação volumétrica específica (ou seja, a deformação volumétrica relativa ), (d) variação do volume
.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
(a) variação da altura, (b) variação do diâmetro, (c) dilatação volumétrica específica (ou seja, a deformação volumétrica relativa
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
Nada mais foi pedido (por ex. não há carregamento adicional); a pressão é hidrostática (o fluido aplica a mesma pressão em todas as direções), então usaremos a elasticidade linear isotrópica para um estado de tensão hidrostática.
Passo 2
Conceito físico e modelo a usar (explicadinho): quando uma peça está sob pressão hidrostática
(pressão externa igual em todas as direções), as componentes de tensão normais valem
o sinal negativo indica compressão. Para um material elástico linear isotrópico (Lei de Hooke generalizada), a deformação linear numa direção (por exemplo
) é dada por:
Aqui as três tensões são iguais, então a fórmula simplifica bastante — é por isso que, sob pressão hidrostática, as contrações lineares nas três direções são iguais.
Passo 3
Derivação da expressão da deformação linear sob pressão hidrostática (passo-a-passo didático): substituindo
na expressão da Lei de Hooke obtemos
Calculando dentro do parênteses:
Portanto a deformação linear em cada direção é
Observação didática:
é adimensional e indica fração de variação do comprimento (por exemplo
). O sinal negativo mostra que há contração (redução de comprimento) para pressão externa positiva.
Passo 4
Cálculo numérico da deformação linear usando os dados (converta unidades consistentemente): escrevemos os módulos em Pa:
Agora aplicamos a fórmula
Substituindo números:
Calcule passo a passo:
e
Logo
Arredondando de forma razoável:
Passo 5
Cálculo das variações lineares (altura e diâmetro): a variação de uma dimensão qualquer é
. Para a altura:
Fazendo a conta:
Para o diâmetro:
(Os sinais negativos indicam diminuição das dimensões.)
Passo 6
Cálculo da dilatação volumétrica específica
: a deformação volumétrica relativa para pequenas deformações é a soma das deformações lineares nas três direções:
Como
já foi calculada,
Arredondando:
ou em porcentagem isso é aproximadamente
.
Passo 7
Cálculo da variação do volume
com base no volume inicial: o volume inicial do cilindro é
Logo, em
,
Para
usamos
:
Calculei numericamente:
Se preferir em metros cúbicos (para referência), como
,
(Resumo:
é cerca de mil e pouco
negativos.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)