Um bloco cilíndrico de latão, com 160 mm de altura e 120 mm de diâmetro é deixado afundar num oceano até a profundidade onde a pressão é de 75 MPa (cerca de 7500 m abaixo da superfície). Sabendo-se que \mathrm{E}=105 \mathrm{GPa} e v=0,35, determinar: (a) variação do altura do bloco (b) sua variação do diâmetro (c) sua dilatação volumétrica específica (d) variação do volume

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre um bloco cilíndrico de latão submetido à pressão externa de \,75\\ \text{MPa}:
(a) variação da altura, (b) variação do diâmetro, (c) dilatação volumétrica específica (ou seja, a deformação volumétrica relativa \Delta V/V), (d) variação do volume \Delta V.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
\text{altura inicial } h_0 = 160\\ \text{mm},\qquad \text{diâmetro inicial } d_0 = 120\\ \text{mm},â
\text{pressão externa } p = 75\\ \text{MPa},\qquad E = 105\\ \text{GPa},\qquad \nu = 0{,}35.ã
Nada mais foi pedido (por ex. não há carregamento adicional); a pressão é hidrostática (o fluido aplica a mesma pressão em todas as direções), então usaremos a elasticidade linear isotrópica para um estado de tensão hidrostática.

Passo 2

Conceito físico e modelo a usar (explicadinho): quando uma peça está sob pressão hidrostática p (pressão externa igual em todas as direções), as componentes de tensão normais valem
\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p,
o sinal negativo indica compressão. Para um material elástico linear isotrópico (Lei de Hooke generalizada), a deformação linear numa direção (por exemplo x) é dada por:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr).
Aqui as três tensões são iguais, então a fórmula simplifica bastante — é por isso que, sob pressão hidrostática, as contrações lineares nas três direções são iguais.

Passo 3

Derivação da expressão da deformação linear sob pressão hidrostática (passo-a-passo didático): substituindo \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-p na expressão da Lei de Hooke obtemos
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(-p-\nu(-p+-p)\bigr).
Calculando dentro do parênteses:
-p-\nu(-2p)=-p+2\nu p = -p(1-2\nu).
Portanto a deformação linear em cada direção é
\varepsilon \equiv \varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z = -\frac{p}{E}\,(1-2\nu).
Observação didática: \varepsilon é adimensional e indica fração de variação do comprimento (por exemplo \Delta h/h_0). O sinal negativo mostra que há contração (redução de comprimento) para pressão externa positiva.

Passo 4

Cálculo numérico da deformação linear usando os dados (converta unidades consistentemente): escrevemos os módulos em Pa:
p = 75\\ \text{MPa} = 75\times10^{6}\\ \text{Pa},\qquad E = 105\\ \text{GPa} = 105\times10^{9}\\ \text{Pa}.
Agora aplicamos a fórmula
\varepsilon = -\frac{p}{E}\,(1-2\nu).
Substituindo números:
\varepsilon = -\frac{75\times10^{6}}{105\times10^{9}}\,(1-2\cdot0{,}35).
Calcule passo a passo:
\frac{75\times10^{6}}{105\times10^{9}}=\frac{75}{105000}=0{,}0007142857\ldots
e
1-2\cdot0{,}35=1-0{,}70=0{,}30.
Logo
\varepsilon = -0{,}0007142857\ldots\times0{,}30 = -0{,}0002142857\ldots
Arredondando de forma razoável:
\varepsilon \approx -0{,}00021429.

Passo 5

Cálculo das variações lineares (altura e diâmetro): a variação de uma dimensão qualquer é \Delta L=\varepsilon L_0. Para a altura:
\Delta h = \varepsilon\;h_0 = -0{,}0002142857\ldots\times160\\ \text{mm}.
Fazendo a conta:
\Delta h \approx -0{,}0342857\\ \text{mm}.
Para o diâmetro:
\Delta d = \varepsilon\;d_0 = -0{,}0002142857\ldots\times120\\ \text{mm},
\Delta d \approx -0{,}0257143\\ \text{mm}.
(Os sinais negativos indicam diminuição das dimensões.)

Passo 6

Cálculo da dilatação volumétrica específica \displaystyle\frac{\Delta V}{V}: a deformação volumétrica relativa para pequenas deformações é a soma das deformações lineares nas três direções:
\frac{\Delta V}{V} = \varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z = 3\varepsilon.
Como \varepsilon já foi calculada,
\frac{\Delta V}{V} = 3\cdot(-0{,}0002142857\ldots) = -0{,}0006428571\ldots
Arredondando:
\frac{\Delta V}{V} \approx -0{,}00064286\quad(\text{adimensional}),
ou em porcentagem isso é aproximadamente -0{,}064286\%.

Passo 7

Cálculo da variação do volume \Delta V com base no volume inicial: o volume inicial do cilindro é
V_0 = \pi r^2 h_0,\qquad r=\frac{d_0}{2}=60\\ \text{mm}.
Logo, em \text{mm}^3,
V_0 = \pi\cdot60^2\cdot160 = \pi\cdot576000 = 576000\pi\\ \text{mm}^3.
Para \Delta V usamos \Delta V = (\Delta V/V)\,V_0:
\Delta V = -0{,}000642857142857\ldots \times 576000\pi\\ \text{mm}^3.
Calculei numericamente:
\Delta V \approx -1163{,}55\\ \text{mm}^3.
Se preferir em metros cúbicos (para referência), como 1\\ \text{mm}^3 = 10^{-9}\\ \text{m}^3,
\Delta V \approx -1{,}16355\times10^{-6}\\ \text{m}^3\quad\text{(atenção: isso estaria errado: corrigindo a ordem, }1163{,}55\\ \text{mm}^3 = 1{,}16355\times10^{-6}\\ \text{m}^3\text{)}.çã
(Resumo: \Delta V é cerca de mil e pouco \text{mm}^3 negativos.)

Resposta

(a) \Delta h = -0{,}0342857\\ \text{mm}
(b) \Delta d = -0{,}0257143\\ \text{mm}
(c) \dfrac{\Delta V}{V} = -0{,}000642857
(d) \Delta V \approx -1163{,}55\\ \text{mm}^3

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