Um círculo de diâmetro d=230 \mathrm{~mm} é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões de espessura \mathrm{t}=20 \mathrm{~mm}. Forças atuando no plano da placa posteriormente provocam tensões normais \sigma_{x}=84 M P a e \sigma_{z}=140 \mathrm{MPa}. Para \mathrm{E}=70 \mathrm{GPa} e v=0,33, determine a variação
da espessura da placa

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a variação da espessura da placa quando são aplicadas tensões normais no plano da placa. Dados fornecidos:
d=230\\ \mathrm{mm}
t=20\\ \mathrm{mm}
\sigma_x=84\\ \mathrm{MPa}
\sigma_z=140\\ \mathrm{MPa}
E=70\\ \mathrm{GPa}
\nu=0{,}33
A pergunta a responder é: qual é a variação da espessura da placa ( \Delta t) sob essas tensões?

Passo 2

Primeiro preciso escolher o modelo adequado. A placa é livre de tensões na direção da espessura (superfícies livres), então a componente de tensão normal à espessura é nula: \sigma_y=0. Esse é o caso padrão chamado de condição de “plane stress” (tensão plana). Vou usar as relações lineares entre tensões e deformações para um material isotrópico (Lei de Hooke generalizada em 3D) para obter a deformação na direção da espessura, \varepsilon_y. Explico por que: a variação da espessura é diretamente dada pela deformação nessa direção multiplicada pela espessura inicial.

Passo 3

A Lei de Hooke generalizada relaciona as deformações e tensões por:
\varepsilon_y=\frac{1}{E}\big(\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z)\big).
Aqui:
  • \varepsilon_y é a deformação (taxa relativa de variação) na direção da espessura;
  • E é o módulo de Young ( E em unidades compatíveis com as tensões);
  • \nu é o coeficiente de Poisson;
  • \sigma_x,\sigma_z,\sigma_y são as tensões normais nas direções x,z,y respectivamente.
    Essa fórmula vem da forma completa das relações lineares para um material isotrópico:
\varepsilon_i=\frac{1}{E}\left(\sigma_i-\nu\sum_{j\neq i}\sigma_j\right),
aplicada ao caso i=y.

Passo 4

Como a placa tem superfícies livres na direção da espessura, tomo \sigma_y=0. Substituindo na expressão anterior obtenho:
\varepsilon_y=-\frac{\nu}{E}\,(\sigma_x+\sigma_z).
O sinal negativo indica que se \sigma_x+\sigma_z>0 (tração no plano) a placa tende a afinar (espessura diminui) devido ao efeito de Poisson.

Passo 5

Agora faço as contas numéricas passo a passo. Primeiro coloco E em \mathrm{MPa} para compatibilidade com \sigma:
E=70\\ \mathrm{GPa}=70{,}000\\ \mathrm{MPa}.
Somando as tensões no plano:
\sigma_x+\sigma_z=84+140=224\\ \mathrm{MPa}.
Calculo \varepsilon_y:
\varepsilon_y=-\frac{0{,}33}{70{,}000}\times 224.
Faço a multiplicação no numerador:
0{,}33\times 224=73{,}92.
Dividindo:
\varepsilon_y=-\frac{73{,}92}{70{,}000}=-0{,}001056.

Passo 6

A variação absoluta da espessura \Delta t é a deformação multiplicada pela espessura inicial:
\Delta t = t\,\varepsilon_y = 20\\ \mathrm{mm}\times(-0{,}001056).
Portanto
\Delta t=-0{,}02112\\ \mathrm{mm}.
O valor negativo indica que a espessura diminuiu; em percentual a redução é cerca de 0{,}1056\% (ou seja, uma diminuição muito pequena). Observação: o diâmetro do círculo dado no enunciado não foi necessário para calcular essa variação da espessura, porque a pergunta fornece diretamente as tensões no plano e estamos usando relações locais de elasticidade linear.

Resposta

\Delta t=-0{,}02112\\ \mathrm{mm}

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