Um círculo de diâmetro
é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões de espessura
. Forças atuando no plano da placa posteriormente provocam tensões normais
e
. Para
e
, determine a variação
da espessura da placa
da espessura da placa
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a variação da espessura da placa quando são aplicadas tensões normais no plano da placa. Dados fornecidos:
A pergunta a responder é: qual é a variação da espessura da placa (
) sob essas tensões?
Passo 2
Primeiro preciso escolher o modelo adequado. A placa é livre de tensões na direção da espessura (superfícies livres), então a componente de tensão normal à espessura é nula:
. Esse é o caso padrão chamado de condição de “plane stress” (tensão plana). Vou usar as relações lineares entre tensões e deformações para um material isotrópico (Lei de Hooke generalizada em 3D) para obter a deformação na direção da espessura,
. Explico por que: a variação da espessura é diretamente dada pela deformação nessa direção multiplicada pela espessura inicial.
Passo 3
A Lei de Hooke generalizada relaciona as deformações e tensões por:
Aqui:
-
é a deformação (taxa relativa de variação) na direção da espessura; -
é o módulo de Young ( em unidades compatíveis com as tensões); -
é o coeficiente de Poisson; -
são as tensões normais nas direções respectivamente.
Essa fórmula vem da forma completa das relações lineares para um material isotrópico:
aplicada ao caso
.
Passo 4
Como a placa tem superfícies livres na direção da espessura, tomo
. Substituindo na expressão anterior obtenho:
O sinal negativo indica que se
(tração no plano) a placa tende a afinar (espessura diminui) devido ao efeito de Poisson.
Passo 5
Agora faço as contas numéricas passo a passo. Primeiro coloco
em
para compatibilidade com
:
Somando as tensões no plano:
Calculo
:
Faço a multiplicação no numerador:
Dividindo:
Passo 6
A variação absoluta da espessura
é a deformação multiplicada pela espessura inicial:
Portanto
O valor negativo indica que a espessura diminuiu; em percentual a redução é cerca de
(ou seja, uma diminuição muito pequena). Observação: o diâmetro do círculo dado no enunciado não foi necessário para calcular essa variação da espessura, porque a pergunta fornece diretamente as tensões no plano e estamos usando relações locais de elasticidade linear.