Um círculo de diâmetro
é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões de espessura
. Forças atuando no plano da placa posteriormente provocam tensões normais
e
. Para
e
, determine a variação
a dilatação volumétrica específica.
a dilatação volumétrica específica.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumidos):\n
- Um círculo de diâmetro
foi desenhado numa placa de alumínio de espessura . (Esses dados geométricos não são necessários para calcular a dilatação volumétrica específica do material localmente, mas foram anotados.)\n - Tensões normais atuando no plano da placa:
e .\n - A placa é livre de tensões na direção da espessura (faces livres), portanto a tensão nessa direção é nula — isto será usado adiante.\n
- Propriedades do material:
e .\n
Pergunta que o problema faz: determinar a variação (a dilatação) volumétrica específica, isto é, a deformação volumétrica.
Passo 2
O que é dilatação volumétrica específica (deformação volumétrica)?\n
- A dilatação volumétrica específica, que chamamos de
, é a soma das deformações lineares nas três direções ortogonais: .\n - Em regimes elásticos lineares e material isotrópico, usamos as equações de Hooke tridimensionais para relacionar tensões
com deformações .
Passo 3
Apresentando as equações de Hooke (forma para deformações):\n
Cada componente de deformação é dada por
Cada componente de deformação é dada por
Aqui:\n
-
é o módulo de Young;\n -
é o coeficiente de Poisson;\n -
são as tensões normais nas direções ;\n -
são as deformações lineares nessas direções.
Passo 4
Justificando a condição de tensão na direção da espessura:\n
- A placa tem faces livres na direção da espessura, então não há forças aplicadas nessa direção: portanto
. (Estou adotando como a direção da espessura; e são as direções no plano onde foram aplicadas e .)
Passo 5
Expressão para a deformação volumétrica somando as três componentes e simplificando:\n
Somando as três equações de Hooke obtemos
Somando as três equações de Hooke obtemos
Colocando em forma mais compacta:
Passo 6
Substituindo
e os valores numéricos (atenção às unidades):\n
- Primeiro, convertemos
para as mesmas unidades das tensões: .\n - Soma das tensões:
.\n - Calculamos o fator
: .\n
Agora aplicamos a fórmula:
Passo 7
Fazendo a conta passo a passo:\n
- Primeiro multiplicamos
.\n - Depois dividimos por
: .\n
Em notação científica e com vírgula decimal (formato pedido):
Passo 8
Interpretação e forma percentual (opcional para entendimento):\n
- Em percentual isso corresponde a
de variação volumétrica.\n - O valor é positivo, indicando aumento de volume (dilatação) sob as tensões aplicadas conforme sinais escolhidos.