Um círculo de diâmetro d=230 \mathrm{~mm} é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões de espessura \mathrm{t}=20 \mathrm{~mm}. Forças atuando no plano da placa posteriormente provocam tensões normais \sigma_{x}=84 M P a e \sigma_{z}=140 \mathrm{MPa}. Para \mathrm{E}=70 \mathrm{GPa} e v=0,33, determine a variação
a dilatação volumétrica específica.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumidos):\n
  • Um círculo de diâmetro d=230\\ \mathrm{mm} foi desenhado numa placa de alumínio de espessura t=20\\ \mathrm{mm}. (Esses dados geométricos não são necessários para calcular a dilatação volumétrica específica do material localmente, mas foram anotados.)\n
  • Tensões normais atuando no plano da placa: \sigma_x = 84\\ \mathrm{MPa} e \sigma_z = 140\\ \mathrm{MPa}.\n
  • A placa é livre de tensões na direção da espessura (faces livres), portanto a tensão nessa direção é nula — isto será usado adiante.\n
  • Propriedades do material: E = 70\\ \mathrm{GPa} e \nu = 0,33.\n
    Pergunta que o problema faz: determinar a variação (a dilatação) volumétrica específica, isto é, a deformação volumétrica \varepsilon_v = \dfrac{\Delta V}{V}.

Passo 2

O que é dilatação volumétrica específica (deformação volumétrica)?\n
  • A dilatação volumétrica específica, que chamamos de \varepsilon_v, é a soma das deformações lineares nas três direções ortogonais: \varepsilon_v = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z.\n
  • Em regimes elásticos lineares e material isotrópico, usamos as equações de Hooke tridimensionais para relacionar tensões \sigma com deformações \varepsilon.

Passo 3

Apresentando as equações de Hooke (forma para deformações):\n
Cada componente de deformação é dada por
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)\bigr),
\varepsilon_y = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)\bigr),
\varepsilon_z = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)\bigr).
Aqui:\n
  • E é o módulo de Young;\n
  • \nu é o coeficiente de Poisson;\n
  • \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z são as tensões normais nas direções x,y,z;\n
  • \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z são as deformações lineares nessas direções.

Passo 4

Justificando a condição de tensão na direção da espessura:\n
  • A placa tem faces livres na direção da espessura, então não há forças aplicadas nessa direção: portanto \sigma_y = 0. (Estou adotando y como a direção da espessura; x e z são as direções no plano onde foram aplicadas \sigma_x e \sigma_z.)

Passo 5

Expressão para a deformação volumétrica somando as três componentes e simplificando:\n
Somando as três equações de Hooke obtemos
\varepsilon_v = \varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z - 2\nu(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)\bigr).
Colocando em forma mais compacta:
\varepsilon_v = \frac{1-2\nu}{E}\,(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z).

Passo 6

Substituindo \sigma_y=0 e os valores numéricos (atenção às unidades):\n
  • Primeiro, convertemos E para as mesmas unidades das tensões: E = 70\\ \mathrm{GPa} = 70000\\ \mathrm{MPa}.\n
  • Soma das tensões: \sigma_x+\sigma_y+\sigma_z = 84 + 0 + 140 = 224\\ \mathrm{MPa}.\n
  • Calculamos o fator 1-2\nu: 1-2\nu = 1 - 2\cdot 0,33 = 1 - 0,66 = 0,34.\n
    Agora aplicamos a fórmula:
\varepsilon_v = \frac{0,34}{70000}\times 224.

Passo 7

Fazendo a conta passo a passo:\n
  • Primeiro multiplicamos 0,34 \times 224 = 76,16.\n
  • Depois dividimos por 70000: \varepsilon_v = \dfrac{76,16}{70000} = 0,001088.\n
    Em notação científica e com vírgula decimal (formato pedido):
\varepsilon_v = 1,088\times 10^{-3}.

Passo 8

Interpretação e forma percentual (opcional para entendimento):\n
  • Em percentual isso corresponde a 0,1088\% de variação volumétrica.\n
  • O valor é positivo, indicando aumento de volume (dilatação) sob as tensões aplicadas conforme sinais escolhidos.

Resposta

\varepsilon_v = 1,088\times 10^{-3}

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