Uma partícula se move em órbita bidimensional definida por
\begin{aligned} & x(t)=A(2 \alpha t-\operatorname{sen} \alpha t) \\ & y(t)=A(1-\cos \alpha t) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece a posição da partícula como função do tempo, em coordenadas cartesianas bidimensionais:
x(t)=A\bigl(2\alpha t-\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr),
y(t)=A\bigl(1-\cos(\alpha t)\bigr).
Não há uma pergunta explícita no enunciado. Em problemas de cinemática paramétrica como este, as perguntas mais comuns (e úteis para a prova) são:
  • encontrar o vetor velocidade \mathbf{v}(t) e o vetor aceleração \mathbf{a}(t);
  • calcular a velocidade escalar |\mathbf{v}(t)|;
  • obter a curvatura \kappa(t) e o raio de curvatura \rho(t)=1/\kappa(t);
  • decompor a aceleração nas componentes tangencial a_t e normal a_n.
    Vou calcular essas quantidades passo a passo, porque aprender a obter cada uma delas é justamente o que costuma cair na prova.

Passo 2

Regra prática rápida (aula-frasco): quando a posição é dada por coordenadas paramétricas \bigl(x(t),y(t)\bigr),
  • o vetor velocidade é a derivada componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr).
  • o vetor aceleração é a derivada da velocidade:
\mathbf{a}(t)=\bigl(x''(t),\,y''(t)\bigr).
Vou aplicar essas definições diretamente às funções dadas. Antes, lembro a regra da derivada de funções compostas: se u(t)=\operatorname{sen}(\alpha t), então u'(t)=\alpha\cos(\alpha t); se v(t)=\cos(\alpha t), então v'(t)=-\alpha\operatorname{sen}(\alpha t).

Passo 3

Derivo x(t) e y(t) para obter a velocidade:
x(t)=A\bigl(2\alpha t-\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr)\quad\Rightarrow\quad x'(t)=A\bigl(2\alpha - \alpha\cos(\alpha t)\bigr)=A\alpha\bigl(2-\cos(\alpha t)\bigr).
y(t)=A\bigl(1-\cos(\alpha t)\bigr)\quad\Rightarrow\quad y'(t)=A\bigl(0 + \alpha\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr)=A\alpha\operatorname{sen}(\alpha t).
Portanto o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=A\alpha\bigl(2-\cos(\alpha t),\;\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr).

Passo 4

Agora derivo novamente para obter a aceleração. Uso que a derivada de \cos(\alpha t) é -\alpha\operatorname{sen}(\alpha t) e da \operatorname{sen}(\alpha t) é \alpha\cos(\alpha t):
x''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(A\alpha(2-\cos(\alpha t))\bigr)=A\alpha\bigl(0 + \alpha\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr)=A\alpha^{2}\operatorname{sen}(\alpha t).
y''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(A\alpha\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr)=A\alpha\bigl(\alpha\cos(\alpha t)\bigr)=A\alpha^{2}\cos(\alpha t).
Logo
\mathbf{a}(t)=A\alpha^{2}\bigl(\operatorname{sen}(\alpha t),\;\cos(\alpha t)\bigr).

Passo 5

Vou calcular a velocidade escalar (o módulo de \mathbf{v}). Fórmula:
\lvert\mathbf{v}(t)\rvert=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}.
Substituo as componentes obtidas:
\lvert\mathbf{v}(t)\rvert = A\alpha\sqrt{\bigl(2-\cos(\alpha t)\bigr)^{2}+\operatorname{sen}^{2}(\alpha t)}.
Faço a simplificação algébrica dentro da raiz:
\bigl(2-\cos\rho\bigr)^{2}+\operatorname{sen}^{2}\rho =4-4\cos\rho+\cos^{2}\rho+\operatorname{sen}^{2}\rho =4-4\cos\rho+1 =5-4\cos\rho,
onde escrevi \rho=\alpha t para abreviar; voltando,
\lvert\mathbf{v}(t)\rvert = A\alpha\sqrt{\,5-4\cos(\alpha t)\,}.
Esta forma é compacta e mostra imediatamente que a velocidade escalar oscila no tempo conforme \cos(\alpha t).

Passo 6

Princípio da curvatura em 2D (aula curta): para uma curva plana parametrizada por t,
\kappa(t)=\frac{\lvert x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\rvert}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
O numerador é o determinante das derivadas — que corresponde ao módulo da componente “z” do produto vetorial entre \mathbf{v} e \mathbf{a} em coordenadas 3D quando as quantidades só têm componentes x,y.
Calculo o determinante usando as expressões já encontradas:
x'(t)=A\alpha(2-\cos\alpha t),\quad y'(t)=A\alpha\operatorname{sen}\alpha t,
x''(t)=A\alpha^{2}\operatorname{sen}\alpha t,\quad y''(t)=A\alpha^{2}\cos\alpha t.
Então
\begin{aligned} x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t) &=A\alpha(2-\cos\alpha t)\cdot A\alpha^{2}\cos\alpha t - A\alpha\operatorname{sen}\alpha t\cdot A\alpha^{2}\operatorname{sen}\alpha t\\[4pt] &=A^{2}\alpha^{3}\bigl((2-\cos\alpha t)\cos\alpha t-\operatorname{sen}^{2}\alpha t\bigr). \end{aligned}
Simplifico o parêntese usando \cos^{2}+\operatorname{sen}^{2}=1:
(2-\cos)\cos-\operatorname{sen}^{2}=2\cos-\cos^{2}-\operatorname{sen}^{2}=2\cos-1.
Portanto o numerador vale
x'y''-y'x''=A^{2}\alpha^{3}\bigl(2\cos(\alpha t)-1\bigr).
O denominador é \bigl(x'^{2}+y'^{2}\bigr)^{3/2}=(A\alpha)^{3}\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2} (usando o resultado do passo 5). Cancelando termos comuns:
\kappa(t)=\frac{\lvert A^{2}\alpha^{3}(2\cos(\alpha t)-1)\rvert}{(A\alpha)^{3}\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2}} =\frac{\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}{A\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2}}.]

Passo 7

Raio de curvatura e interpretação: o raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura,
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=A\;\frac{\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2}}{\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}.
Isto dá uma medida do “raio da circunferência que melhor aproxima a curva” em cada ponto. Note que \rho depende de \cos(\alpha t) e que pode divergir (ficar muito grande) quando 2\cos(\alpha t)-1 se aproxima de zero — aí a curvatura tende a zero, a trajetória fica localmente quase retilínea.

Passo 8

Componentes tangencial e normal da aceleração (como usar na prova): a aceleração total se decompõe em
\mathbf{a}=a_{t}\,\mathbf{t}+a_{n}\,\mathbf{n},
onde a_{t}=\dfrac{d}{dt}\lvert\mathbf{v}\rvert (variação da rapidez) e a_{n}=\kappa\lvert\mathbf{v}\rvert^{2} (componente centrípeta perpendicular à velocidade). Vou calcular ambas de maneira explícita e simples.
Primeiro a_{t}. Temos \lvert\mathbf{v}(t)\rvert=A\alpha\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}. Derivo em relação a t:
\frac{d}{dt}\sqrt{5-4\cos(\alpha t)} =\frac{1}{2\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}}\cdot(4\alpha\operatorname{sen}(\alpha t)) =\frac{2\alpha\operatorname{sen}(\alpha t)}{\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}}.
Multiplicando pelo fator A\alpha que estava fora:
a_{t}=\frac{d}{dt}\lvert\mathbf{v}\rvert = A\alpha\cdot\frac{2\alpha\operatorname{sen}(\alpha t)}{\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}} = \frac{2A\alpha^{2}\operatorname{sen}(\alpha t)}{\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}}.
Agora a_{n}=\kappa\lvert\mathbf{v}\rvert^{2}. Use \kappa do passo 6 e \lvert\mathbf{v}\rvert^{2}=(A\alpha)^{2}(5-4\cos(\alpha t)):
a_{n} =\frac{\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}{A\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2}}\times (A\alpha)^{2}\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr) = \frac{A\alpha^{2}\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}{\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}}.
Observação útil para prova: a norma do vetor aceleração que encontramos no passo 4 é simples:
\lvert\mathbf{a}(t)\rvert = A\alpha^{2}\sqrt{\operatorname{sen}^{2}(\alpha t)+\cos^{2}(\alpha t)}=A\alpha^{2}.
Esse fato (norma constante) serve como checagem: costuma acontecer que
\lvert\mathbf{a}\rvert^{2}=a_{t}^{2}+a_{n}^{2},
e se você substituir as expressões obtidas para a_t e a_n verá que a identidade é satisfeita — é uma boa verificação rápida em prova.

Passo 9

Comentário físico-intuitivo e observações finais para a prova:
  • A componente x(t) tem um termo linear em t ( 2A\alpha t) mais uma oscilação -A\operatorname{sen}(\alpha t). Isso significa que a partícula tem um deslocamento médio para +x (movimento de translação) enquanto oscila localmente — por isso a curva é parecida com uma cicloide deslocada.
  • A componente y(t) é puramente oscilatória em torno de y=0 (de amplitude 2A); portanto o movimento é periódico em y com período T=\dfrac{2\pi}{\alpha}, mas x(t) não é periódico por causa do termo linear.
  • Use sempre as fórmulas básicas: \mathbf{v}=(x',y'), \mathbf{a}=(x'',y''), |\mathbf{v}|=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}, \kappa=\dfrac{|x'y''-y'x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}, a_{t}=\dfrac{d}{dt}|\mathbf{v}|, a_{n}=\kappa|\mathbf{v}|^{2}. Memorizou isso, resolve a maioria das questões de cinemática de curvas planas.

Resposta

\mathbf{v}(t)=A\alpha\bigl(2-\cos(\alpha t),\;\operatorname{sen}(\alpha t)\bigr)
\mathbf{a}(t)=A\alpha^{2}\bigl(\operatorname{sen}(\alpha t),\;\cos(\alpha t)\bigr)
\lvert\mathbf{v}(t)\rvert=A\alpha\sqrt{\,5-4\cos(\alpha t)\,}
\kappa(t)=\dfrac{\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}{A\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2}}
\rho(t)=A\;\dfrac{\bigl(5-4\cos(\alpha t)\bigr)^{3/2}}{\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}
a_{t}(t)=\dfrac{2A\alpha^{2}\operatorname{sen}(\alpha t)}{\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}}
a_{n}(t)=\dfrac{A\alpha^{2}\lvert 2\cos(\alpha t)-1\rvert}{\sqrt{5-4\cos(\alpha t)}}

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