Uma partícula se move em órbita bidimensional definida por
Passo 1
O enunciado fornece a posição da partícula como função do tempo, em coordenadas cartesianas bidimensionais:
Não há uma pergunta explícita no enunciado. Em problemas de cinemática paramétrica como este, as perguntas mais comuns (e úteis para a prova) são:
- encontrar o vetor velocidade
e o vetor aceleração ; - calcular a velocidade escalar
; - obter a curvatura
e o raio de curvatura ; - decompor a aceleração nas componentes tangencial
e normal .
Vou calcular essas quantidades passo a passo, porque aprender a obter cada uma delas é justamente o que costuma cair na prova.
Passo 2
Regra prática rápida (aula-frasco): quando a posição é dada por coordenadas paramétricas
,
- o vetor velocidade é a derivada componente a componente:
- o vetor aceleração é a derivada da velocidade:
Vou aplicar essas definições diretamente às funções dadas. Antes, lembro a regra da derivada de funções compostas: se
, então
; se
, então
.
Passo 3
Derivo
e
para obter a velocidade:
Portanto o vetor velocidade é
Passo 4
Agora derivo novamente para obter a aceleração. Uso que a derivada de
é
e da
é
:
Logo
Passo 5
Vou calcular a velocidade escalar (o módulo de
). Fórmula:
Substituo as componentes obtidas:
Faço a simplificação algébrica dentro da raiz:
onde escrevi
para abreviar; voltando,
Esta forma é compacta e mostra imediatamente que a velocidade escalar oscila no tempo conforme
.
Passo 6
Princípio da curvatura em 2D (aula curta): para uma curva plana parametrizada por
,
O numerador é o determinante das derivadas — que corresponde ao módulo da componente “z” do produto vetorial entre
e
em coordenadas 3D quando as quantidades só têm componentes
.
Calculo o determinante usando as expressões já encontradas:
Então
Simplifico o parêntese usando
:
Portanto o numerador vale
O denominador é
(usando o resultado do passo 5). Cancelando termos comuns:
Passo 7
Raio de curvatura e interpretação: o raio de curvatura
é o inverso da curvatura,
Isto dá uma medida do “raio da circunferência que melhor aproxima a curva” em cada ponto. Note que
depende de
e que pode divergir (ficar muito grande) quando
se aproxima de zero — aí a curvatura tende a zero, a trajetória fica localmente quase retilínea.
Passo 8
Componentes tangencial e normal da aceleração (como usar na prova): a aceleração total se decompõe em
onde
(variação da rapidez) e
(componente centrípeta perpendicular à velocidade). Vou calcular ambas de maneira explícita e simples.
Primeiro
. Temos
. Derivo em relação a
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Agora
. Use
do passo 6 e
:
Observação útil para prova: a norma do vetor aceleração que encontramos no passo 4 é simples:
Esse fato (norma constante) serve como checagem: costuma acontecer que
e se você substituir as expressões obtidas para
e
verá que a identidade é satisfeita — é uma boa verificação rápida em prova.
Passo 9
Comentário físico-intuitivo e observações finais para a prova:
- A componente
tem um termo linear em ( ) mais uma oscilação . Isso significa que a partícula tem um deslocamento médio para +x (movimento de translação) enquanto oscila localmente — por isso a curva é parecida com uma cicloide deslocada. - A componente
é puramente oscilatória em torno de (de amplitude ); portanto o movimento é periódico em com período , mas não é periódico por causa do termo linear. - Use sempre as fórmulas básicas:
, , , , , . Memorizou isso, resolve a maioria das questões de cinemática de curvas planas.