Um bloco de cobre de 250 g , inicialmente a 180^{\circ} \mathrm{C}, é colocado em um calorímetro contendo 400 g de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. O calorímetro é de alumínio, com massa de 150 g , inicialmente em equilíbrio térmico com a água. O sistema está isolado do meio externo e sob pressão constante (1,01 bar). Calcule: a) a temperatura final de equilíbrio do sistema; b) a quantidade de calor trocada por cada componente (cobre, água e calorímetro); c) a variação total de energia interna do sistema.
Dados: \mathrm{Cp}(\mathrm{Cu})=0,384 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K} ; \mathrm{Cp}(\mathrm{Al})=0,897 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K} ; \mathrm{Cp}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=4,18 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece estes dados (todos extraídos do enunciado):
  • Pedidos:
    • (a) Calcular a temperatura final de equilíbrio do sistema.
    • (b) Calcular a quantidade de calor trocada por cada componente (cobre, água e calorímetro).
    • (c) Calcular a variação total de energia interna do sistema.
  • Dados numéricos:
    • Massa do cobre: m_{\text{Cu}}=250\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial do cobre: T_{\text{Cu,i}}=180^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de água: m_{\mathrm{H_2O}}=400\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial da água: T_{\mathrm{H_2O,i}}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Massa do calorímetro (alumínio): m_{\text{Al}}=150\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial do calorímetro: T_{\text{Al,i}}=20^\circ\mathrm{C} (em equilíbrio térmico com a água).
    • Sistema isolado do meio externo e sob pressão constante.
    • Capacidades caloríficas específicas:
      • c_{\text{Cu}}=0,384\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
      • c_{\text{Al}}=0,897\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
      • c_{\mathrm{H_2O}}=4,18\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
  • Observação importante: não há mudança de fase. A temperatura final T_f será única para todo o conjunto.

Passo 2

Conceito básico e equação que vamos usar (aulas rápidas e claras).
  • O calor recebido ou cedido por um corpo ao variar sua temperatura é dado por
q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • q é a quantidade de calor (positiva se o corpo recebe calor, negativa se cede calor),
  • m é a massa do corpo (em gramas),
  • c é a capacidade térmica específica (em \mathrm{J/(g\cdot K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura T_f-T_i (em K ou em ^\circ\mathrm{C}, a diferença é a mesma).
  • Como o sistema todo é isolado, a energia trocada entre os corpos interna ao sistema não sai para o ambiente, então a soma algébrica dos calores trocados deve ser zero:
\sum q_i = 0.
Isto é, o calor cedido pelo cobre será absorvido pela água e pelo calorímetro.

Passo 3

Escrever a equação de conservação de energia para encontrar T_f.
  • Para cada componente usamos q = m c (T_f - T_i). Assim:
q_{\text{Cu}}=m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,(T_f - T_{\text{Cu,i}}),
q_{\mathrm{H_2O}}=m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\,(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}}),
q_{\text{Al}}=m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\,(T_f - T_{\text{Al,i}}).
Somando e impondo \sum q_i=0 dá:
m_{\text{Cu}}c_{\text{Cu}}(T_f-T_{\text{Cu,i}})+m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}(T_f-T_{\mathrm{H_2O,i}})+m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}(T_f-T_{\text{Al,i}})=0.

Passo 4

Substituir os números e simplificar a equação.
  • Primeiro calcular as capacidades térmicas nominais (massa vezes c):
C_{\text{Cu}}=m_{\text{Cu}}c_{\text{Cu}}=250\cdot0,384=96{,}0\\ \mathrm{J/K},
C_{\mathrm{H_2O}}=m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}=400\cdot4{,}18=1672{,}0\\ \mathrm{J/K},
C_{\text{Al}}=m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}=150\cdot0{,}897=134{,}55\\ \mathrm{J/K}.
  • Colocando esses valores na equação:
96{,}0\,(T_f-180)+1672{,}0\,(T_f-20)+134{,}55\,(T_f-20)=0.
  • Agrupando os termos em T_f e os termos constantes:
(96{,}0+1672{,}0+134{,}55)T_f - (96{,}0\cdot180 + (1672{,}0+134{,}55)\cdot20)=0.
  • Soma dos coeficientes:
1902{,}55\,T_f - 53411 = 0.

Passo 5

Resolver para T_f.
T_f=\frac{53411}{1902{,}55}=28{,}073375\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
T_f \approx 28{,}07^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular as quantidades de calor trocadas por cada componente usando q=m c (T_f-T_i).
  • Para o cobre:
q_{\text{Cu}}=96{,}0\,(T_f-180)=96{,}0\,(28{,}073375-180)=-14584{,}96\\ \mathrm{J}.
  • Para a água:
q_{\mathrm{H_2O}}=1672{,}0\,(T_f-20)=1672{,}0\,(28{,}073375-20)=13498{,}68\\ \mathrm{J}.
  • Para o calorímetro (alumínio):
q_{\text{Al}}=134{,}55\,(T_f-20)=134{,}55\,(28{,}073375-20)=1086{,}27\\ \mathrm{J}.
  • Verificação rápida: q_{\text{Cu}}+q_{\mathrm{H_2O}}+q_{\text{Al}} \approx -14584{,}96+13498{,}68+1086{,}27\approx 0 (diferença pequena devido ao arredondamento), o que confirma consistência.

Passo 7

Interpretar os sinais e explicar o que esses q significam.
  • q_{\text{Cu}}<0 indica que o cobre cedeu calor (esfriou).
  • q_{\mathrm{H_2O}}>0 e q_{\text{Al}}>0 indicam que a água e o calorímetro absorveram calor (aqueceram).
  • Os valores numéricos mostram que o calor cedido pelo cobre foi absorvido quase exatamente pela água e pelo calorímetro.

Passo 8

Calcular a variação total de energia interna do sistema e justificar.
  • Para cada corpo, assumimos que a variação de energia interna associada à variação de temperatura é \Delta U_i = m c \Delta T = q_i (válido para sólidos e líquidos quando não há trabalho mecânico significativo associado à expansão e sem mudanças de fase).
  • A variação total de energia interna do sistema é
\Delta U_{\text{total}}=\sum_i \Delta U_i=\sum_i q_i.
  • Como o sistema é isolado, não há troca de energia com o exterior, portanto a soma dos calores internos trocados é zero. Numericamente confirmamos isso:
\Delta U_{\text{total}}=q_{\text{Cu}}+q_{\mathrm{H_2O}}+q_{\text{Al}}\approx 0.
  • Conclusão: a variação total de energia interna do sistema é nula:
\Delta U_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) T_f \approx 28{,}07^\circ\mathrm{C}
(b) q_{\text{Cu}} \approx -14584{,}96\\ \mathrm{J}
q_{\mathrm{H_2O}} \approx 13498{,}68\\ \mathrm{J}
q_{\text{Al}} \approx 1086{,}27\\ \mathrm{J}
(c) \Delta U_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J}

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