Uma lâmina de cobre de 200 g , a 150 oC , e 500 g de água, a 25 oC , são colocadas em contato e, isoladas do exterior e a pressão constante ( 1,01 bar), trocam calor entre si, até atingirem o equilíbrio térmico. Determinar: a) quantidade de calor trocada entre a água e o cobre. Dados: \mathbf{C p} \boldsymbol{(} \mathbf{C u} \boldsymbol{)} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 3 8 4 ~ J} \boldsymbol{/} \mathbf{g ~ K} \boldsymbol{;} \mathbf{C p} \boldsymbol{( H 2 O )} \boldsymbol{=} \mathbf{4 , 1 8 ~ J} \boldsymbol{/} \mathbf{g ~ K}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Massa da lâmina de cobre: m_{\mathrm{Cu}} = 200\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial do cobre: T_{\mathrm{Cu,i}} = 150^\circ\mathrm{C}.
    • Massa da água: m_{\mathrm{H_2O}} = 500\\ \mathrm{g}.
    • Temperatura inicial da água: T_{\mathrm{H_2O,i}} = 25^\circ\mathrm{C}.
    • Capacidade calorífica do cobre: c_{\mathrm{Cu}} = 0,384\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}.
    • Capacidade calorífica da água: c_{\mathrm{H_2O}} = 4,18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}.
    • Sistema isolado (não há perda de calor para o ambiente) e pressão constante (informação de pressão não é necessária para este cálculo).
  • O que é pedido:
    • Determinar a quantidade de calor trocada entre a água e o cobre (ou seja, o calor que a água ganha e o calor que o cobre perde).

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática, passo a passo):
  • Quando duas substâncias trocam calor até o equilíbrio térmico num sistema isolado, o calor perdido por quem estava mais quente é igual ao calor ganho por quem estava mais frio, com sinais opostos. Em fórmula: q_{\mathrm{Cu}} + q_{\mathrm{H_2O}} = 0.Aqui q é o calor recebido pela substância (positivo se ganha calor, negativo se perde).
  • Para uma massa m de uma substância com calor específico c, a variação de energia térmica (calor trocado) ao mudar a temperatura de T_i para T_f é dada por: q = m\,c\,(T_f - T_i).Onde:
    • m está em gramas ( \mathrm{g}),
    • c em \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}},
    • T em graus Celsius ou Kelvin (a variação \Delta T é a mesma em ambas as escalas).
  • Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio de T_f. Aplicando a fórmula para cada substância: q_{\mathrm{Cu}} = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_f - T_{\mathrm{Cu,i}}),
q_{\mathrm{H_2O}} = m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\,(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}}).
E pela conservação de energia:
m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_f - T_{\mathrm{Cu,i}}) + m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\,(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}})=0.

Passo 3

Isolando T_f na equação de conservação de energia (montagem algébrica):
m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}(T_f - T_{\mathrm{Cu,i}}) + m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}})=0
Agrupando os termos com T_f:
T_f\bigl(m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}+m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}\bigr) = m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}\,T_{\mathrm{Cu,i}} + m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}\,T_{\mathrm{H_2O,i}}.
Portanto:
T_f = \dfrac{m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}\,T_{\mathrm{Cu,i}} + m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}\,T_{\mathrm{H_2O,i}}}{m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}+m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (faça as contas devagar, sem pular etapas):
  • Calcular m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}: m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}} = (200)\cdot(0,384) = 76,8\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Calcular m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}: m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}} = (500)\cdot(4,18) = 2090\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Soma dos capacitâncias térmicas: m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}} + m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}} = 76,8 + 2090 = 2166,8\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Numerador: m_{\mathrm{Cu}}c_{\mathrm{Cu}}\,T_{\mathrm{Cu,i}} = 76,8\cdot150 = 11520\\ \mathrm{J},
m_{\mathrm{H_2O}}c_{\mathrm{H_2O}}\,T_{\mathrm{H_2O,i}} = 2090\cdot25 = 52250\\ \mathrm{J}.
\text{Numerador total} = 11520 + 52250 = 63770\\ \mathrm{J}.
  • Finalmente: T_f = \dfrac{63770}{2166,8} \approx 29,43^\circ\mathrm{C}.
Comentário rápido: o resultado faz sentido — a temperatura final está entre 25^\circ\mathrm{C} e 150^\circ\mathrm{C}, bem mais próxima de 25^\circ\mathrm{C} porque a água tem muito maior capacidade térmica (maior m c).

Passo 5

Calcular o calor trocado pela água (quanto ela ganhou):
q_{\mathrm{H_2O}} = m_{\mathrm{H_2O}}\,c_{\mathrm{H_2O}}\,(T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}}).
Substituindo:
T_f - T_{\mathrm{H_2O,i}} = 29,43 - 25 = 4,43\\ \mathrm{K},
q_{\mathrm{H_2O}} = 500\cdot 4,18 \cdot 4,43 = 2090 \cdot 4,43 = 9258,7\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma prática: q_{\mathrm{H_2O}}\approx 9,26\times10^{3}\\ \mathrm{J} (a água ganhou esse calor).

Passo 6

Calcular o calor trocado pelo cobre (deve ser igual em magnitude e oposto em sinal):
q_{\mathrm{Cu}} = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_f - T_{\mathrm{Cu,i}}).
T_f - T_{\mathrm{Cu,i}} = 29,43 - 150 = -120,57\\ \mathrm{K},
q_{\mathrm{Cu}} = 200\cdot 0,384 \cdot (-120,57) = 76,8 \cdot (-120,57) \approx -9258,7\\ \mathrm{J}.
Observação: q_{\mathrm{Cu}} \approx -q_{\mathrm{H_2O}}, como esperado pela conservação de energia. O sinal negativo indica que o cobre perdeu calor.

Passo 7

Verificação e interpretação final (motivação para a prova):
  • Resultado numérico é consistente: sistema isolado, calor perdido pelo quente = calor ganho pelo frio.
  • Unidade final do calor está em joules ( \mathrm{J}); às vezes é conveniente reportar em kilojoules ( \mathrm{kJ}): 9,26\times10^{3}\\ \mathrm{J} = 9,26\\ \mathrm{kJ}.
  • Em provas, siga sempre esses passos: identificar dados, escrever a equação de conservação de energia, isolar T_f, calcular e então o q usando q=m c \Delta T. Faça as contas com cuidado nas multiplicações e esteja atento aos sinais.

Resposta

T_f = 29,43^\circ\mathrm{C}
q_{\mathrm{H_2O}} = +9,26\times10^{3}\\ \mathrm{J}
q_{\mathrm{Cu}} = -9,26\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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