Um bloco começa a subir um plano inclinado sem atrito com velocidade inicial v_{0}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ângulo do plano inclinado é \theta=30^{\circ}.
a) Que distância vertical o bloco consegue subir?
b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura?
c) Qual é a velocidade do bloco ao chegar de volta ao ponto de partida?

Passo 1

Resumo do enunciado e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    v_{0}=5\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta=30^\circ,
    plano inclinado sem atrito. Vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Perguntas:
    a) Que distância vertical o bloco consegue subir?
    b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura?
    c) Qual é a velocidade do bloco ao chegar de volta ao ponto de partida?

Passo 2

Escolha do método e ideia física principal (explicação didática).
  • Por que usar conservação de energia para (a) e (c)? Porque não há atrito nem forças dissipativas; portanto a energia mecânica (energia cinética + energia potencial gravitacional) se conserva. Isso torna o cálculo da altura muito direto e evita ter que trabalhar diretamente com componentes de deslocamento no plano. Vou explicar a fórmula que usarei.
  • Conservação de energia (explicação):
    A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
    K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
    A energia potencial gravitacional associada a uma altura vertical h (em relação a um nível de referência) é
    U=mgh,
    onde g é a aceleração da gravidade e m a massa do bloco. Se a energia mecânica se conserva entre dois instantes,
    K_{\text{inicial}}+U_{\text{inicial}}=K_{\text{final}}+U_{\text{final}}.
    No nosso caso, ao subir até a altura máxima a velocidade momentaneamente vira zero lá, então K_{\text{final}}=0 e a diferença de energia cinética inicial vira energia potencial.

Passo 3

Cálculo da distância vertical máxima h (resolução passo a passo usando energia).
  • Aplicando conservação de energia entre o ponto inicial (velocidade v_{0}, altura zero) e o ponto mais alto (velocidade zero, altura h):
    \tfrac{1}{2}m v_{0}^{2} = m g h.
    Aqui m aparece dos dois lados e cancela; não precisamos conhecer a massa do bloco. Isolando h:
    h = \frac{v_{0}^{2}}{2g}.
    Explicando cada variável: v_{0} é a velocidade inicial, g é a gravidade e h é a altura vertical máxima alcançada.
  • Substituindo os números:
    h = \frac{(5)^{2}}{2\cdot 9,8} = \frac{25}{19,6}.
    Agora faço a divisão:
    h \approx 1,27551\\ \mathrm{m}.
    Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
    h \approx 1,28\\ \mathrm{m}.
    Observação didática: repare que o ângulo \theta desapareceu da expressão de h. Isso é esperado física e matematicamente: subir em um plano inclinado sem atrito depende só da energia vertical, não do percurso — a mesma velocidade inicial sobe a mesma altura vertical independente do ângulo.

Passo 4

Cálculo do tempo até atingir a altura máxima (explicação e contas com cinemática).
  • Método escolhido: usar cinemática ao longo do eixo do plano inclinado com aceleração constante. Explico como obter a aceleração ao longo do plano.
  • Força que causa desaceleração ao subir: a componente do peso paralela ao plano é mg\sin\theta apontando para baixo (isto é, oposta ao movimento quando sobe). Assim a aceleração ao longo do plano é
    a = -g\sin\theta,
    onde o sinal negativo indica que a velocidade diminui quando o bloco sobe.
  • Para tempo até a parada usamos a equação da velocidade para movimento uniformemente acelerado:
    v = v_{0} + a t.
    No instante do ponto mais alto v=0, portanto
    0 = v_{0} + a t \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{v_{0}}{a}.
    Substituindo a=-g\sin\theta obtemos
    t = \frac{v_{0}}{g\sin\theta}.
    Aqui t é o tempo gasto desde o início até a parada no ponto mais alto.
  • Substituindo valores: \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, então
    t = \frac{5}{9,8\cdot \tfrac{1}{2}} = \frac{5}{4,9}.
    Fazendo a divisão:
    t \approx 1,02041\\ \mathrm{s}.
    Arredondando para duas casas decimais:
    t \approx 1,02\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Velocidade ao retornar ao ponto de partida (explicação com conservação de energia).
  • Ideia: na descida desde a altura h de volta ao ponto inicial sem atrito, a energia potencial mgh volta a transformar-se em energia cinética. Pela conservação da energia, a velocidade ao chegar ao nível inicial terá a mesma magnitude que a velocidade inicial (assumindo que não houve perda de energia).
    Matemática:
    m g h = \tfrac{1}{2} m v_{\text{final}}^{2}.
    Mas já sabemos que h=\tfrac{v_{0}^{2}}{2g}, então substituindo obtemos imediatamente v_{\text{final}}=v_{0}.
  • Conclusão: a velocidade ao chegar de volta ao ponto de partida tem módulo igual a 5\\ \mathrm{m/s}. Se for necessário indicar direção, ela estará apontando no sentido do movimento de descida (oposto ao sentido inicial), mas normalmente pede-se apenas o valor da velocidade escalar.

Passo 6

Checagem rápida de unidades e consistência (dicas para prova).
  • Unidades: h veio em metros porque v_{0}^{2}/g tem unidades (\mathrm{m^{2}/s^{2}})/(\mathrm{m/s^{2}})=\mathrm{m}.
  • Consistência: tempo positivo, altura independente do ângulo — tudo coerente.
  • Mensagem rápida de ânimo: está tudo certo — método por energia é o caminho mais curto e seguro em questões sem atrito. Você tá indo bem!

Resposta

h\approx 1,28\\ \mathrm{m}
t\approx 1,02\\ \mathrm{s}
v_{\text{quando retorna}}=5\\ \mathrm{m/s}

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