Uma particula parte do repouso da posição \mathrm{x}=-2 \mathrm{~m}, se move ao longo do eixo x com aceleração dada por a(t)=5 t^{2}. Determine:
a) a expressão para a velocidade da partícula ao longo do tempo;
b) a expressão para a posição da partícula ao longo do tempo;
d) a velocidade da partícula no(s) instante(s) em que ela passa pela origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e do que pede.
Dados iniciais: a aceleração é \,a(t)=5t^{2}\,.
Condição inicial: a partícula parte do repouso na posição \,x=-2\\ \mathrm{m}\,. Isso significa que \,v(0)=0\, e \,x(0)=-2\,.
Perguntas pedidas:
a) Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo \,v(t)\,.
b) Encontrar a expressão da posição em função do tempo \,x(t)\,.
d) Determinar a(s) velocidade(s) da partícula no(s) instante(s) em que ela passa pela origem \,x=0.
Passo 2
Lembrando a relação entre aceleração e velocidade: por definição a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}\,. Para obter a velocidade a partir da aceleração fazemos integração em t. Uma forma prática que evita ficar calculando constantes separadamente é usar a integral definida desde 0 até t e empregar as condições iniciais. Escrevemos:
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(s)\,ds.
Aqui \,s\, é a variável de integração (um nome qualquer para evitar confusão com o limite t). Sabendo que \,v(0)=0\, e \,a(s)=5s^{2}\,, substituímos na integral.
Passo 3
Calculando a integral para obter \,v(t)\,:
v(t)=0+\int_{0}^{t} 5s^{2}\,ds.
Agora integramos \,5s^{2}\,: a primitiva de \,s^{2}\, é \,\dfrac{s^{3}}{3}\,, então a primitiva de \,5s^{2}\, é \,5\cdot\dfrac{s^{3}}{3}=\dfrac{5}{3}s^{3}\,. Avaliando de 0 a t obtemos:
Verificação rápida: em t=0 temos v(0)=0, compatível com “parte do repouso”.
Passo 4
Agora vamos obter a posição sabendo que a velocidade é a derivada da posição: \,v(t)=\dfrac{dx}{dt}\,. Novamente integramos em relação ao tempo usando a condição inicial \,x(0)=-2\,:
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(s)\,ds.
Substituindo \,v(s)=\dfrac{5}{3}s^{3}\, e \,x(0)=-2\, temos:
x(t)=-2+\int_{0}^{t}\dfrac{5}{3}s^{3}\,ds.
Passo 5
Calculando a integral para obter \,x(t)\,. A primitiva de \,s^{3}\, é \,\dfrac{s^{4}}{4}\,, então a primitiva de \,\dfrac{5}{3}s^{3}\, é \,\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{s^{4}}{4}=\dfrac{5}{12}s^{4}\,. Avaliando de 0 a t e somando o termo inicial:
Tomando a raiz quarta de ambos os lados obtemos as soluções reais \,t=\pm\left(\dfrac{24}{5}\right)^{1/4}\,. Como estamos tratando de tempo físico que começa em t=0 e usualmente t\ge 0, tomamos a raiz não-negativa:
t_{0}=\left(\dfrac{24}{5}\right)^{1/4}.
Observação didática rápida: a equação t^{4}=C>0 tem quatro raízes complexas no plano complexo, entre elas duas reais \pm C^{1/4}; para problemas de movimento usamos t\ge 0, então usamos t= C^{1/4}.
Passo 7
Agora calculamos a velocidade no instante em que a partícula passa pela origem. Substituímos t=t_{0} em \,v(t)=\dfrac{5}{3}t^{3}\,. Assim:
a) v(t)=\dfrac{5}{3}t^{3}.
b) x(t)=\dfrac{5}{12}t^{4}-2.
d) Tempo em que passa pela origem: t=\left(\dfrac{24}{5}\right)^{1/4}\approx 1{,}48018\\ \mathrm{s}.
Velocidade nesse instante: v=\dfrac{5}{3}\left(\dfrac{24}{5}\right)^{3/4}\approx 5{,}4033\\ \mathrm{m/s}.